Integralrechnung?

Ich kann es nicht ausrechnen. Kann jemand bitte den Rechenweg zeigen/es ausrechnen?

Vielen Dank im voraus

Answer 1

[mihisu]

Integriere die Differenz (oberer Funktionswert - unterer Funktionswert), um den Flächeninhalt zwischen den Funktionsgraphen zu berechnen. Dabei musst du das Integral gegebenenfalls an den Schnittstelle aufteilen, da dort wechseln kann, was die obere und was die untere Funktion ist.

Außerdem wirst du, da nicht angeben, auch zunächst einmal den Funktionsterm für die Gerade aufstellen/ablesen müssen.

Bei a) ist die Steigung der Gerade m = (-1)/1 = -1 [wenn man eine Einheit nach rechts geht, muss man eine Einheit nach unten gehen, damit man auf der Geraden bleibt]. Der y-Achsenabschnitt ist 3. Dementsprechend kann man y = -1 * x + 3 bzw. y = -x + 3 als Geradengleichung angeben. Im Bereich von x = 0 bis x = 1 liegt die Gerade mit Funktionsterm -x + 3 oberhalb der Parabel. Im Bereich von x = 1 bis x = 2 liegt die Parabel mit Funktionsterm x² + 1 oberhalb der Geraden. Für den gesuchten Flächeninhalt erhält man nun...

$A=\int\limits_{0}^{1}\left(\left(-x + 3\right)-\left(x^2 + 1\right)\right)\,\text{d}x+\int\limits_{1}^{2}\left(\left(x^2 + 1\right)-\left(-x + 3\right)\right)\,\text{d}x$

$=\int\limits_{0}^{1}\left(-x + 3-x^2 - 1\right)\,\text{d}x+\int\limits_{1}^{2}\left(x^2 + 1 + x - 3\right)\,\text{d}x$

$=\int\limits_{0}^{1}\left(-x^2 - x + 2\right)\,\text{d}x+\int\limits_{1}^{2}\left(x^2 + x - 2\right)\,\text{d}x$

[Bedenke, dass durch (x^n)/(n + 1) der Term einer Stammfunktion zu x^n gegeben ist.]

$=\left[-\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2 x\right]_{0}^{1}+\left[\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 2 x\right]_{1}^{2}$

$=\left(-\frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} + 2\cdot 1\right)-\left(-\frac{0^3}{3} - \frac{0^2}{2} + 2\cdot 0\right)+\left(\frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} - 2\cdot 2\right)-\left(\frac{1^3}{3} + \frac{1^2}{2} - 2\cdot 1\right)$

$=-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2-0+\frac{8}{3} + 2 - 4-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2$

$=\frac{-1+8-1}{3} + \frac{-1-1}{2} + 2 + 2 - 4 + 2$

$=2 - 1 + 2 + 2 - 4 + 2$

$=3$

Answer 2

[Littlethought]

Hinweise:

Geradengleichung Aufgabe a: y = - x + 3 :

Geradengleichung Aufgabe b : y = 3x ;

   f( x ) =  a x ⁿ  ;    =>       F( x )  =    ^a / _{( n + 1 )} * x ^{n + 1}      + C    ;

Achte darauf, dass du das Integral nur bis zum Schnittpunkt der Geraden mit der Funktion und dann zusätzlich ab dem Schnittpunkt berechnen mußt.