Wie kann man ein Integral ohne Funktion bestimmen?
Ich verstehe nicht so ganz was ich bei Aufgabe 2 machen muss. Könnte mir jmd für a) erklären wie es geht, damit ich auch die restlichen ausrechnen kann? Wäre sehr hilfreich :)
3 Antworten
Hallo Jeremyyyy,
ein wesentlicher Grund für Integrale ist die Berechnung von Flächen. Ich verstehe Deine Verwirrung um die fehlende Funktionsgleichung, aber die nötige Information steht da in Form von A₁, A₂, A₃ und A₄ – "A" steht für engl. area, Fläche.
Die Flächen A₁ und A₄ liegen unter der x- Achse und zählen negativ.
Der Unterschied zwischen den Teilaufgaben liegt nur in den Integrationsgrenzen, d.h., welche Flächen überhaupt berücksichtigt werden. In Teilaufgabe a) sind die Grenzen −2 und 0, und somit sind A₁ und A₂, wobei A₁, A₂ negativ zählt und daher negativ gezählt werden muss:
−2∫0 f(x) dx = −A₁ + A₂ = −0,3 + 0,8 = 0,5.
Einfach die Flächen innerhalb der Grenzen aufsummieren, dabei die unter der x- Achse liegenden negativ zählen.
Ja. Ich musste mir erst noch die Grenzen angucken, die man in geringer Auflösung schlecht lesen kann.
Den habe ich benutzt. Komischerweise kann man es dann nicht drehen. Für einen kurzen Check ist das aber egal.
Das (Riemann-) Integral stellt einfach den Flächeninhalt zwischen Funktion, x-Achse und den Grenzen dar. Dabei werden Flächenstücke die unterhalb der x-Achse liegen negativ gezählt. Die Antwort auf a) ist daher 2,9 - 0,3 - 1,1
Danke für die schnelle Antwort, aber trdm verstehe ich es noch nicht so ganz. Warum beginnt man dann mit 2,9, was ja nicht negativ ist, und wie steht das ganze in Verbindung mit dem 0 und -2 bei dem Integral? Die Werte befinden sich ja nicht nur in dem Bereich von 0 bis -2.
DerRoll wollte sicher nur mal testen, ob Du auch mitdenkst! :)
Erstens habe ich den Bereich A2 übrrsehen, der muss auch dazu addiert werden (da oberhalb der x Achse). Mit 2,9 beginne ich WEIL es positiv ist und sich das so leichter liest. Du kannst auch -0,3 + 0,8 + 2,9 - 1,1 schreiben. Den zweiten Teil deiner Nachfrage verstehe ich nicht, das Integral geht doch von -2 bis 3.
Berechnest Du das Integral von -2 bis 0 für diese Funktion, dann kommt da 0,5 raus. D. h. wäre der Funktionsterm bekannt und gäbest Du das so wie angegeben in Deinen Taschenrechner ein, dann würde dieser 0,5 anzeigen.
Etwas anderes ist es, wenn nach dem Flächeninhalt zwischen den Grenzen gefragt ist (was hier nicht der Fall ist); dann muss man die Integrale splitten um nicht über Nullstellen hinaus zu integrieren, und müsste dann von diesen Integralen die Beträge addieren.
Hinweis:Man darf nicht über Nullstellen hinweg integrieren.
Bei der Integration erhalten Flächen über der x-Achse ein positives Vorzeichen.
Flächen unterhalb der x-Achse erhalten ein negatives Vorzeichen
Um die Gesamtfläche zu erhalten,muß man die Beträge der einzelnen Teilflächen addieren
a) untere Grenze xu=-2 und obere Grenze xo=0 dazwischen liegt aber eine Nullstelle
Mann also hier 2 Flächen einzeln berechnen
A1 xu1=-2 und xo1=-2
A2 xu2=-1 und xo2=0
Gesamtfläche dann Ages=|A1|+A2 → A1 liegt unterhalb der x-Achse und hat deshalb nach der Integration ein negatives Vorzeichen
Hinweis: Man darf nicht über Nullstellen hinweg integrieren.
Mit der Funktionsgleichung schon. Das Integral von f(x) = ½x² von −2 bis 2 schließt eine Nullstelle ein, ist aber kein Problem.
−2∫2 ½x² dx = ⅙(2³ − (−2)³) = ⅙∙16 = 8⁄3
Und wie bestimme ich damit das Integral?