In welchem Zusammenhang wird in der Mathematik folgendes Gleichheitszeichen verwendet? <=> Es wird genauso geschrieben? Worin besteht der Unterschied zum =?
7 Antworten
Das bezieht sich auf Aussagen. Wenn Aussagen gleichwertig sind, benutzt man ⇔
Beispiel: (A ⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ ¬A)
Sprich: Aus A folgt B ist äquivalent zu aus nicht B folgt nicht A. A und B sind Aussagen. Eine Aussage ist eine Abbildung auf die Werte wahr und falsch.
Beispiel für eine Aussage: "Peter ist größer als Anton"
Eine simple Folgerung wäre Aussage B als "Anton ist kleiner als Peter"
Aus "Peter ist größer als Anton" (A) folgt "Anton ist kleiner als Peter" (B) und das ist äquivalent (gleichbedeutend) zu "Aus Anton ist nicht kleiner als Peter folgt, dass Peter nicht größer als Anton ist."
Die Differenzierung zu = ist zwingend notwendig.
Nehmen wir die beiden Aussagen 2x = 3y und 4x = 6y. Diese Aussagen sind gleichbedeutend, weil die zweite Aussage durch die erste Aussage entsteht, indem man die Gleichung mit 2 multipliziert.
2x = 3y ⇔ 4x = 6y
Würde man die Zeichen nicht unterscheiden, stünde dort 2x = 3y = 4x = 6y. Für y ≠ 0 ist aber 3y selten gleich 6y. Die Gleichungskette liefert eine falsche Aussage.
Bei <=> stehen gewöhnlich auf beiden Seiten komplette Gleichungen.
Man spricht von umkehrbar eindeutig oder eineindeutig.
Bei => bzw. <= geht die Eindeutigkit nur in eine Richtung.
Ja, und?
Da der FS noch immer Verständnisprobleme hat, sind ihm konkret benannte Anwendungen lieber als nebulöse Allgemeindefinitionen.
Was ist denn daran nebulös, neben Gleichungen auch schlichte Aussagen aufzuzählen? Im Gegenteil, diese sind noch wesentlich einfacher und anschaulicher. Aber nur zu sagen, dass Gleichungen darin auftauchen, umfasst schlicht die Aussagekraft dieses Zeichens nicht. Selbst in der Mathematik sind Gleichungen nur ein kleiner Teil davon.
⇔ ist das Äquivalenzzeichen und steht - logischerweise - für Äquivalenz.
Äquivalenz bedeutet, dass zwei Aussagen gleichwertig sind, also aus einander folgen.
A ⇔ B bedeutet: A folgt aus B und B folgt aus A.
2x = 4 ⇔ x = 2
Aus 2x = 4 folgt x = 2, aber auch aus x = 2 folgt 2x = 4. Die beiden Gleichungen (Aussagen) sind also äquivalent.
Das Gleichheitszeichen steht hingegen für eine Gleichheit, zeigt also, dass zwei Werte gleich sind. Der Unterschied zum Äquivalenzzeichen besteht darin, dass das Äquivalenzzeichen meist zwischen zwei Aussagen steht, das Gleichheitszeichen allerdings zwischen zwei Termen.
Auch in der Mengenlehre gibt es das Äquivalenzzeichen, was aber logisch mit dem Gleichheitszeichen gleichgesetzt werden kann (was aber mathematisch eigentlich nicht richtig ist).
{1; 2; 3} ⇔ {3; 2; 1}
oder auch {1; 2; 3} = {3; 2; 1} (genau genommen aber falsch)
LG Willibergi
Warum meinst du, dass die letzte Behauptung falsch ist? Sowohl die Notation mit dem "=" als auch die Folgerung, dass die Mengen überhaupt identisch sind, sind doch korrekt. Grüße
= bedeutet gleich, also dass zwei konkrete Terme (oder auch nur Größen) identisch sind.
<=> bedeutet Äquivalenz. Das heißt, zwei Aussagen (die wiederum in sich Gleichzeichen haben können) sind gleichwertig. Der besondere Unterschied zu => und <= besteht darin, dass die Äquivalenz in beide Richtungen existiert, also aus Aussage 1 Aussage 2 folgt und auch umgekehrt, nicht nur in eine Richtung.
Es regnet => Die Erde wird nass.
Wenn es regnet, wird die Erde immer nass. Aber nur weil die Erde nass ist, muss es nicht unbedingt geregnet haben.
Du hattest weniger als 50% der Klausurpunkte <=> Du bist durchgefallen.
Gilt das eine, gilt das andere.
Das bedeutet so viel wie "Die beiden Aussagen (rechts und links des Zeichens) sind gleichbedeutend bzw. folgen aus dem jeweils anderen."
Danke, aber ich verstehe es nicht. Würde das nicht auch für ein normales Gleichheitszeichen zutreffen?
https://de.wikipedia.org/wiki/Liste\_mathematischer\_Symbole#Junktoren
Gute Frage, wo genau der Unterschied zum Gleichheitszeichen liegt. Der Doppelpfeil (A <=> B) bedeutet eben eher eine logische Folgerung von Aussage B aus A.
A=B bedeutet die Gleichheit von A und B.
Beim Doppelpfeil steht üblicherweise rechts und links eine Gleichung. Beim Gleichheitszeichen steht rechts und links ein Term. Ein Term an sich ist keine Aussage.
Auf den Seiten kann alles erdenkliche stehen. Genau so auch Behauptungen mathematischer und nicht-mathematischer Art. Gleichungen sind nur ein kleiner Ausschnitt davon.