wie bestimme ich die Ebenengleichung in Koordinatenform?
Die Gerade g verläuft durch die Punkte A(1|-1|3) und B(2|-3|0).
Die Ebene E wird von g orthogonal geschnitten und enthält den Punkt C(4|3|-8).
a) Bestimmen Sie den Schnittpunkt S von g und E.
b) Untersuchen Sie, ob S zwischen A und B liegt.
1 Antwort
Ein Richgungsvektor der Geraden g ist ein Normalenvektor der Ebene E. Mit diesem und dem Punkt C kannst du eine Normalengleichung der Ebene aufstellen.
Ein Richtungsverktor von g ist der Differenzvektor von A und B. Du erhählst also als ein Richtungsverktor
(1, –1, 3) – (2, –3, 0) = (–1, 2, 3).
Als Geradengleichung können wir nun schreiben zu
g: x = t (–1, 2, 3) + (1, –1, 3).
Dies ist ja zugleich ein Normalenvektor von E, denn nach Aufgabenstellung wird g orthogonal (senkrecht) von E geschnitten. Mit dem Punkt C, der in E liegt, können wir dann eine Normalengleichung der Ebene angeben, nämlich
E: (–1, 2, 3) • [ x – (4, 3, –8) ] = 0.
Setzen wir nun für x die Geradengleichung oben ein, erhalten wir
(–1, 2, 3) • [ t (–1, 2, 3) + (1, –1, 3) – (4, 3, –8) ] = 0
(–1, 2, 3) • [ t (–1, 2, 3) + (–3, –4, 11) ] = 0
1 t + 4 t + 9 t + 3 – 8 + 33 = 0
14 t + 28 = 0 <=> t = –2.
Somit lautet unser Schnittpunkt S einfach
S = –2 (–1, 2, 3) + (1, –1, 3) = (3, –5, –3).
Bei b) kannst du die Werte für den Parameter t berechnen, sodass aus der Geradengleichung die Punkte A bzw. B rauskommen. Du erhälst also
(1, –1, 3) = t (–1, 2, 3) + (1, –1, 3) <=> t = 0
(2, –3, 0) = t (–1, 2, 3) + (1, –1, 3) <=> t = –1.
Da t für S den Wert –2 annimmt, liegt S nicht zwischen A und B, denn dann müsste t zwischen 0 und –1 liegen.
Und wie mache ich die B?