Gleichung einer Ebene, welche orthogonal zu einer anderen ist bestimmen?
Hallo,
Ich sitze seit 2 Stunden an dieser Aufgabe, habe jedoch keine Ahnung wie sie zu lösen ist. Man Soll eine Gleichung der Ebene F, die orthogonal zur Ebene E (2x+2x+x=7) verläuft und durch die Punkte A(2/-1/7) und B(0/3/9) verläuft.
Ich weiß, dass das Skalarprodukt der Normalverktoren der Ebenen 0 sein muss, damit sie Orthogonal sind. Jedoch keine Ahnung wie ich das Anwenden soll. Bitte um Hilfe.
Vielen Dank im Voraus.
2 Antworten
Ich nehme an, dass die Ebenengleichung E: 2x+2y+z=7 lautet.
Ebene F : ax + by + cz = d
Weitere Bedingungen
Punkt A:
(I) 2a - b + 7c = d
Punkt B:
(II) 3b + 9c = d
Normalenvektoren von E und F stehen senkrecht
(III) 2a + 2b + c = 0
Die drei Gleichungen auflösen:
(I) - (III):
-3b + 6c = d
Darauf (II) addieren:
15c = 2d
Das Gleichungssystem ist unterbestimmt, deshalb setzt man z.B. d = 15
d = 15
daraus folgt c = 2
daraus folgt b = -1
daraus folgt a = 0
F : -y + 2z = 15
Da die ebene F orthogonal zu E liegen soll, kannst du den normalenvektor von E als einen Richtungsvektor von F angeben. Jetzt hast du 2 punkte (A,B) mit denen du einen stützvektor und einen richtungsvektor bilden kannst und den zweiten richtungsvektor. Mit denen bildest du eine ebenengleichung in parameterform. Wenn nötig kannst du daraus dann die koordinatenform bilden