Hilfe Mathematik 8.Klasse Gymnasium binomische Formeln?

...komplette Frage anzeigen Aufgabe 8/9 - (Schule, Mathe, Mathematik)

5 Antworten

Einfach die binomischen Formeln anwenden:

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²
(a + b)(a - b) = a² - b²

Für a oder b setzt du dann die entsprechenden Glieder ein (können auch aus mehreren Faktoren bestehen):

(3a - 4b)² = (3a)² - 2*3a*4b + (4b)²
                = 9a² - 24ab + 16b²

LG Willibergi

Hallo Wlanwifi,

hierzu musst du bei den binomischen Gleichungen die Glieder a und b durch die gegebenen Größen einsetzen. Die binomischen Formeln lauten:

1. (a+b)²=a²+2*ab+b²
2. (a-b)²=a²-2*ab+b²
3. (a+b)*(a-b)=a²-b²

Meist bestehen die Größen aus einem Koeffizienten und einer Variablen. Der Koeffizient ist der Faktor vor der Variablen. Aber es ist auch möglich, dass bei einem Glied nur eines von beiden vorhanden ist.

Für die 8a)

Gegeben ist der Term: (3a-4b)². 3a setzt man also für das a ein und 4b für das b. Man sieht hier, dass man die zweite binomische Formel anwenden muss, da in der Klammer ein Minus steht und der Term nicht zum einen aus der Klammer mit dem Plus und einer mit dem Minus besteht (3.).

Somit haben wir: (3a-4b)²=(3*a)²-2*3a*4b+(4*b)²
Nun haben wir:    (3a-4b)²=9a²-24ab+16b² (mit (a*b)^n=a^n*b^n)
Und wir sind fertig:


Für die 8b)

Gegeben ist der Term: (7a+4b)². Hier muss man die erste binomische Formel anwenden. Hier steht in der zu quadrierenden Klammer ein Plus. Zur Verdeutlichung, dass die erste binomische Formel anzuwenden ist, kann man dies zu (7a+4b)*(7a+4b) umschreiben, und es steht kein negatives Vorzeichen in einer der Klammern.

7a muss man für a einsetzen und 4b für b:

Man erhält also:  (7a+4b)²=(7a)²+2*7a*4b+(4b)²
Und somit:          (7a+4b)²=49a²+56ab+16b²

Für die 8c)

Gegeben ist der Term: (11y²-2y)*(11y²+2y). Hier muss man die dritte binomische Formel anwenden. In beiden Klammern gibt es die Gleichung Glieder und jeweils ein positives und ein negatives Rechenzeichen. Somit muss die dritte binomische Formel angewendet werden. Für die binomischen Formeln ist es nicht von Bedeutung, was im Exponenten (obere Zahl einer Potenz) steht. Das Prinzip ist das Gleiche: Man setzt die Werte (mit entsprechend gegebenen Exponenten) ein, als wenn es normale Zahlen sind. Die Reihenfolge der Klammern ist ebenso irrelevant.

Hier setzt man 11y² für a ein und 2y für b. Somit ergibt sich:
(11y²-2y)*(11y²+2y)=(11y²)²-(2y)²
(11y²-2y)*(11y²+2y)=121y^4-4y²


Nun habe ich ein Beispiel für jede dieser Formeln angegeben. Aufmerksamkeit sollte eine Sache in der dritten binomischen Formel bekommen. Man kann die Glieder in der Klammer, die eine Summe ist, vertauschen, was in der anderen Klammer nicht möglich wäre.

z.B.: (3a+4b)*(3a-4b)=(4b+3a)*(3a-4b)

Bei der dritten binomischen Formel sollte man sich, was das einsetzen in die Glieder angeht, nach der Klammer richten, die das Minus beinhält, dort kann die Reihenfolge nicht geändert werden. Durch vertauschtes Einsetzen kommt auch ein falsches Ergebnis heraus. Ich mache es zur Demonstration absichtlich falsch. Setzen wir a=5 und b=7 ein.

(4b+3a)*(3a-4b)

a=4b, da erste Variable in Klammer mit Plus
b=3a, da zweite Variable in Klammer mit Plus

(4b+3a)*(3a-4b)=(4b²)-(3a)²
also ergibt sich:   16*49-9*25
und wir haben als Termwert: 559


Jetzt mal richtig:

(4b+3a)*(3a-4b)

a=3a, da erste Variable in Klammer mit Minus
b=4b, da erste Variante in Klammer mit Minus

(4b+3a)*(3a-4b)=(3a)²-(4b)²
also ergibt sich:   9*25-16*49
und Termwert ist: -559

Hier sieht man, dass der Term genau das Gleiche ist, wie das andere, nur mit umgekehrten Vorzeichen.

Das sind manchmal solche Kniffe, auf die man achten sollte, aber wenn man die binomischen Formeln kann, ist dies kein Problem mehr. Aber sich solche Formeln zu merken, ist oft ein großes Problem.

Ich versuche das mal deutlich zu machen. Bi bedeutet zwei, also besteht der Term aus zwei Klammern mit gleichen Gliedern, aber unabhängige Vorzeichen.

Man kann sich 1.,2. und 3. folgendermaßen werten:

Für jemanden ist es voll positiv (alle Glieder posotiv), auf dem 1.Platz zu landen, Platz 2 ist für einige sehr negativ, da noch Chancen auf einen Sieg bestanden (Alle Rechenoperationen zwischen den beiden Gliedern eine Subtraktion) und Platz 3 ist eine mittelmäßige Sache. Oft kann man sich nicht richtig entscheiden, ob positiv oder negativ (Eine Rechenoperation zwischen den Giedern der einen Klammer ist eine Summe und die andere in der anderen Klammer zwischen den Gliedern eine Differenz.)

Hier die Lösungen der Aufgabe 8, vielleicht kannst du aus diesen Beispielen noch lernen.
8d) (pq³+pq)*(pq³-pq)=(pq³)²-(pq)²
      (pq³+pq)*(pq³-pq)=p²q^6-p²q^4

8e) (ab+3a²b)²=(ab)²+2*ab*3a²b+(3a²b)²
      (ab+3a²b)²=a²b²+6a³b²+9a^4b²

8f) (2d+5ef)²=(2d)²+2*2d*5ef+(5ef)²
     (2d+5ef)²=4d²+20def+25e²f²

8g) (3vw-w²)*(3vw+w²)=(3vw)²-(w²)²
      (3vw-w²)*(3vw+w²)=9v²w²-w^4

8h) (9xy+10z²)²=(9xy)²+2*9xy*10z²+(10z²)²
      (9xy+10z²)²=81x²y²+180xyz²+100z^4

8i) (13a²-14ab²)²=(13a²)²-2*13a²*14ab²+(14ab²)²
     (13a²-14ab²)²=169a^4-364a³b²+196a²b^4


Weitere Beispiele (den Zwischenschritt kann man mit etwas Kopfrechenarbeit weglassen):

(2a+7t)²=4a²+14at+49t²
(g-3r)²=g²-3gr+9r²
(fhr+bgk)*(fhr-bgk)=f²h²r²-b²g²k²
(acgjl+2bd)²=a²c²g²j²l²+4abcdgjl+4b²d²
(4h-3j)²=16h²-24hj+9j²
(2f+5k)*(2f-5k)=4f²-25k²

Es ist auch nicht von Bedeutung, wie viele Variablen in einem Glied multipliziert werden, durch das dritte und das vierte Beispiel verdeutlicht.

Ich hoffe, ich habe keinen Fehler (vor allem mache ich gerne solche Flüchtigkeitsfehler), wenn einem etwas auffallen sollte, kann derjenige sich gerne an mich wenden.


Ich hoffe, ich habe dir weitergeholfen.

Gruß rofl07

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Wlanwifi 11.03.2017, 21:00

Dankeschön!

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Du musst die Formeln mit Hilfe der binomischen Formeln ausmultiplizieren.

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