Hilfe bei Quadratischen Funktionen - Polynomdarstellung und Scheitelpunktform?
Hallo,
ich bin in der Schule leider nicht ganz mitgekommen und habe nun folgende Frage: Kann jemand Schritt für Schritt erklären, wie ich von der Scheitelpunktform zur Polynomdarstellung komme und von der Polynomdarstellung zur Scheitelpunktform?
Ich wäre euch unendlich dankbar :-)
Wir haben folgende Gleichungen gegeben:
f(x)= 3(x-3)²+2 und
f(x)= 4x² +8x -4
Schon einmal vielen Dank für eure Hilfe
4 Antworten
Um von der Scheitelpunktform zur Polynomdarstellung zu kommen, löst Du die quadratische Klammer mit Hilfe der binomischen Formeln auf, also:
(a+b)²=a²+2ab+b² bzw. (a-b)²=a²-2ab+b²
also bei Dir: f(x)=3(x-3)²+2=3(x²-6x+9)+2=3x²-18x+27+2=3x²-18x+29
Den umgekehrten Weg sollt ihr sicher mit Hilfe der quadratischen Ergänzung gehen, dazu klammerst Du erst einmal so aus, dass Du x²+.... erhälst.
bei Deiner Aufgabe kannst Du die 4 ausklammern, also f(x)=4(x²+2x-1)
jetzt kommt die quadratische Ergänzung: Du halbierst die Zahl vor dem x und quadrierst das dann, das Ergebnis addierst und subtrahierst Du anschließend hinter dem x, im Klartext: Die Zahl vor x ist die 2 => halbieren: 2/2=1 => quadrieren 1*1=1
=> f(x)=4(x²+2x+1 -1-1) [Fett=quadr. Ergänzung]
die vorderen drei Summanden ergeben die 1. binomische Form, also hast Du f(x)=4((x+1)² -2). Jetzt mußt Du noch die -2 ausklammern, um die endgültige Scheitelpunktform zu erhalten: f(x)=4(x+1)²-8
https://www.youtube.com/watch?v=ABhfjttPo_M
für das 2.
zum 1.
3(x²-6x+9)+2 = 3x²-18x+29
1.)
f(x)= 3 * (x - 3) ^ 2 + 2
https://de.wikipedia.org/wiki/Binomische_Formeln
Zweite binomische Formel anwenden auf (x - 3) ^ 2
(x - 3) ^ 2 = x ^ 2 - 6 * x + 9
3 * (x - 3) ^ 2 = 3 * x ^ 2 - 18 * x + 27
3 * (x - 3) ^ 2 + 2 = 3 * x ^ 2 - 18 * x + 29
2.)
y = f(x) = a * x ^ 2 + b * x + c = a * (x - u) ^ 2 + v
u und v können aus a, b und c berechnet werden -->
u = -b / (2 * a)
v = (4 * a * c - b ^ 2) / (4 * a)
y = f(x) = 4 * x ^ 2 + 8 * x - 4
a = 4 und b = 8 und c = -4
u = -8 / (2 * 4) = - 1
v = (4 * 4 * - 4 - 8 ^ 2) / (4 * 4) = -8
y = f(x) = a * x ^ 2 + b * x + c = a * (x - u) ^ 2 + v
y = f(x) = 4 * x ^ 2 + 8 * x - 4 = 4 * (x - (-1)) ^ 2 - 8
y = f(x) = 4 * x ^ 2 + 8 * x - 4 = 4 * (x + 1) ^ 2 - 8
Da hilft nur eine 9mm
Nein Spaß zur Seite Google es doch einfach gibt genug Erklärungen.
Müsste man dann nicht noch alles durch 3 machen?