Hängt die Ableitung einer Funktion in der Differentialrechnung mit den binomischen Formeln zusammen?
Ich habe irgendwie das Gefühl dass die Ableitung einer Funktion mit den binomischen Formeln zusammenhängt, natürlich unter Anwendung des Konzeptes der Infinitesimalrechnung und von Grenzwerten. Denn a²+2ab+b² stellt ein Quadrat dar welches in zwei kleinere Quadrate und zwei Rechtecke geteilt wird. Wenn man nun aber den Flächeninhalt der Flächen 2ab und vor allem b² ( das alleine reicht ja schon) gegen Null laufen lässt bleibt praktisch nur 2a übrig. Wenn man jetzt statt „a“ den Buchstaben „x“ verwendet fällt sofort auf dass man mit 2x praktisch die Ableitung von x² zu erhalten scheint. Wenn ich dann auch noch Newtons vereinfachte Schreibweise betrachte statt „(a+b)²“ „(1+x)²“ zu schreiben sticht das für mich noch mehr heraus. Das Gleiche funktioniert scheinbar auch bei höheren Graden, auch wenn ich nicht alle ausprobiert habe.
3 Antworten
Der Unterschied zwischen x^2 und (x+h)^2 ist 2hx+h^2.
Beim Ableiten interessiert man sich nur für die höchste Potenz von x, also entfällt h^2 und es bleibt 2hx, denn geteilt durch h bleibt es der einzige h-freie Summand.
Bei der dritten Potenz sind es nur 3hx^2/h, der Rest ist ebenso uninteressant.
Das ist also immer nur die zweite Zahl in der entsprechenden Reihe des Pascalschen Dreiecks, und das ist die Potenz von x.
Beispiel:
((x+h)^4 - x^4)/h = (1x^4 + 4x^3*h + 6x^2*h^2 + 4x*h^3 + 1h^4 -x^4) /h
Hier siehst Du noch die Zeile "1,4,6,4,1" aus dem Pascalschen Dreieck.
Weiter... =(4x^3*h + 6x^2*h^2 + 4x*h^3 + h^4)/ h
=4x^3 + 6x^2*h + 4x*h^2 + h^3
Und für h gegen Null bleibt eben 4x^3 , was also die Ableitung von x^4 ist, der Rest der Rechnenrei war also für die Katz.
Es geht ja um den Anstieg der Funktion. Und der berechnet sich aus dy/dx.
Wenn dx gegen Null geht, geht ja dy auch gegen Null.
Der Anstieg bleibt aber, bezieht sich auf einen immer kleineren Bereich und wird punktgenau, wenn man alles rausrechnet, was durch einen zu großen Bereich zu Ungenauigkeiten führen kann.
Bei (4x^3*h)/h kürzt sich h raus und der Anstieg ist exakt, denn alles, was nach dem Kürzen über dem Bruchstrich ein h behält, kann ja nichts mehr zur Veränderung beitragen, gerade weil diese Summanden dann gegen Unendlich klein werden.
Wenn h noch bezifferbar wäre, wäre es ein Anstieg durch 2 entferntere Punkte.
Ich habe gestern eine Methode entwickelt welche zwar Ähnlichkeit mit der binomischen Reihe und dem Newtonverfahren hat, sich aber doch irgendwie etwas anders verhält. Ist das die binomische Reihe nur anders gerechnet?
Ich benutze das Standardverfahren zum Wurzelziehen nach a²+2ab+b², verwende aber alternati, statt der normalen Rechenweise, negatoive Zahlen und Brüche.
So wird damit z.B. die Wurzel aus 26 ausgerechnet:
Erster Wert 5, da 5² = 25
26-25 = 1
1/(5*2) = 2/10 also 5+1/10 = 5,1.
Nun -1/(2*510) + 5,1 ist 5201/1020
5201/1020 = 5,099019608
Erstaunlicherweise liefert das Verfahren, sehr ähnlich wie das Heronverfahren, gleich acht Stellen mit zwei Rechenschritten.
Und daher stammt wohl auch die h-Methode zum Ableiten?
Also findet man die Ableitung dieser einfacheren Funktionen quasi immer am Anfang der 1. Binomichen Formel des entsprechenden Grades.
Da kommt diese Zahl her, aber da sie gleich der abgeleiteten Potenz ist, merkt man das nicht, wenn man nur die Ableitungsregeln lernt und anwendet, was zugegebenermaßen praktischer ist, denn für gebrochene oder gar irrationale Potenzen gilt das auch, aber ist viel schwerer darzustellen.
Das passiert gelegentlich bei gebrochenen Funktionen, wenn Lücken eingebaut sind, die man dann nämlich nicht so schnell erkennen kann.
Aber der Regelfall ist es nicht.
Die Ableitung ganzrationaler Funktionen mit Hilfe der h-Methode kann tatsächlich mit Hilfe des
https://de.wikipedia.org/wiki/Binomischer_Lehrsatz
beschrieben werden. Für allgemeine Funktionen trifft das aber nicht zu.
Könnte man nicht auch reelle Expoenenten mit einem allgemeinen binomischen Ansatz beschreiben?
Außerdem habe ich ja noch den Grenzwert. Das ist auch nicht so einfach wie ich dachte. Denn die b/b²-Glieder werden ja nahezu unendlich klein gemacht, aber wie tragen die dann noch zu einer Veränderung bei?