Gibt es Möglichkeit zu berechnen, welche Teiler eine bestimmte Zahl hat? Und wenn ja, wie?

11 Antworten

Gäbe es eine direkte einfache Möglichkeit der Faktorisierung, dann wären diverse Verschlüsselungsverfahren von heute auf morgen hinfällig.

Also nein, es gibt keinen einfachen direkten Weg zur Bestimmung. Aber man kann die Bestimmung natürlich geschickt durchführen, indem man z.b. das Sieb des Eratosthenes nutzt.

  • 924 = 2 * 462
  • 462 = 2 * 231
  • 231 = 3 * 77
  • 77 = 7 * 11

Also

924 = 2^2 * 3 * 7 * 11 (das ist die Primfaktorenzerlegung)

Teiler sind alle die Zahlen, die man als Produkt aus den Primfaktoren bilden kann, darin kann die 2 kein-, ein- oder zweimal vorkommen und die anderen Faktoren (3, 7 und 11) ein- oder keinmal, insgesamt erhältst du so 3*2*2*2 = 24 verschiedene Teiler.

1, 2, 3, 4, 6, 7, 11, 12, 14, 21, 22, 28, 33, 42, 44, 66, 77, 84, 132, 154, 231, 308, 462, 924

924

2 462

2 231

3 77

7 11

11 11 

jetzt kommt wieder handarbeit:

Man muß alle Kombis bestimmen

2 * 2 / * 3 / * 7 / * 11

4 (2*2) * 3 / * 7 / * 11 

6 (2*3) * 7 / * 11

12 (2*2*3) * 7 / *11

usw. Da fällt es schon schwierig, keinen Teiler zu vergessen.

Das überlässt man dann besser einem Programm

Man kann zunächst die Primfaktorzerlegung von 924 bestimmen.



Die Teiler von 924 sind dann dementsprechend



mit a ∈ {0, 1, 2} und b ∈ {0, 1} und c ∈ {0, 1} und d ∈ {0, 1}.

D.h. man erhält die folgenden Teiler von 924 ...

2⁰ ⋅ 3⁰ ⋅ 7⁰ ⋅ 11⁰ = 1
2¹ ⋅ 3⁰ ⋅ 7⁰ ⋅ 11⁰ = 2
2² ⋅ 3⁰ ⋅ 7⁰ ⋅ 11⁰ = 4
2⁰ ⋅ 3¹ ⋅ 7⁰ ⋅ 11⁰ = 3
2¹ ⋅ 3¹ ⋅ 7⁰ ⋅ 11⁰ = 6
2² ⋅ 3¹ ⋅ 7⁰ ⋅ 11⁰ = 12
2⁰ ⋅ 3⁰ ⋅ 7¹ ⋅ 11⁰ = 7
2¹ ⋅ 3⁰ ⋅ 7¹ ⋅ 11⁰ = 14
2² ⋅ 3⁰ ⋅ 7¹ ⋅ 11⁰ = 28
2⁰ ⋅ 3¹ ⋅ 7¹ ⋅ 11⁰ = 21
2¹ ⋅ 3¹ ⋅ 7¹ ⋅ 11⁰ = 42
2² ⋅ 3¹ ⋅ 7¹ ⋅ 11⁰ = 84
2⁰ ⋅ 3⁰ ⋅ 7⁰ ⋅ 11¹ = 11
2¹ ⋅ 3⁰ ⋅ 7⁰ ⋅ 11¹ = 22
2² ⋅ 3⁰ ⋅ 7⁰ ⋅ 11¹ = 44
2⁰ ⋅ 3¹ ⋅ 7⁰ ⋅ 11¹ = 33
2¹ ⋅ 3¹ ⋅ 7⁰ ⋅ 11¹ = 66
2² ⋅ 3¹ ⋅ 7⁰ ⋅ 11¹ = 132
2⁰ ⋅ 3⁰ ⋅ 7¹ ⋅ 11¹ = 77
2¹ ⋅ 3⁰ ⋅ 7¹ ⋅ 11¹ = 154
2² ⋅ 3⁰ ⋅ 7¹ ⋅ 11¹ = 308
2⁰ ⋅ 3¹ ⋅ 7¹ ⋅ 11¹ = 231
2¹ ⋅ 3¹ ⋅ 7¹ ⋅ 11¹ = 462
2² ⋅ 3¹ ⋅ 7¹ ⋅ 11¹ = 924

Perfekt. Danke.

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Ohne mehr oder weniger systematisches Probieren geht das nicht. Bei mühsamen Rechenaufgaben, die aber schnell gehen sollen, ist der Computer hilfreich:

franzn@linux-tsns:~> maxima
Maxima 5.41.0 http://maxima.sourceforge.net
using Lisp CLISP 2.49.92 (2018-02-18)
Distributed under the GNU Public License. See the file COPYING.
Dedicated to the memory of William Schelter.
The function bug_report() provides bug reporting information.
(%i1) factor(924);
                                    2
(%o1)                              2  3 7 11
(%i2) factor(992244);
                                  2
(%o2)                            2  3 11 7517
(%i3) factor(999222444);
                               2  2
(%o3)                         2  3  11 37 47 1451

Hallo Franz, das ist leider die Primfaktorzerlegung und nicht die teilerbestimmende Funktion Divisors[x].

Divisors[992244] ergibt:

1, 2, 3, 4, 6, 11, 12, 22, 33, 44, 66, 132, 7517, 15034, 22551, 30068, 45102, 82687, 90204, 165374, 248061, 330748, 496122, 992244 (24 divisors)
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