Geschwindigkeit beim Runterrollen eines Hügels?

Hallo,

ich habe folgende Frage, kann man sagen, ob jemand, der leichter ist, schneller oder langsamer (bei gleicher neigung) einen Berg runterollt?

Grundsätzlich könnte man bei der schiefen Ebene die Hangabtriebskraft ermitteln, diese wäre bei schweren Personen größer.

Da jedoch eine Kraft als die Beschleunigung x Masse definiert ist, kann es auch gut sein, dass die Beschleunigung bei beiden gleich ist, während die eine Masse größer als die andere ist.

Ich danke ganz herzlich.

Answer 1

[DrNumerus]

Kommt drauf an was du berücksichtigen möchtest. Wenn du z.B. Reibung vernachlässigst, dann kann man das durch simple Energieerhaltung beantworten, wobei die Neigung des Berges tatsächlich egal ist. Am Anfang hat der Körper irgend eine potentielle Energie, aufgrund seiner Höhe. Am Ende ist er unten angekommen, hat also keine Höhenenergie mehr, dafür aber Bewegungsenergie. Da du explizit von "rollen" redest, muss man hier aber noch die Rotationsenergie berücksichtigen. Damit wird alles zu

$E_{\mathrm{pot}}=m\cdot g\cdot h\text{ =}\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}\Theta\omega^2=E_{\mathrm{kin}}+E_{\mathrm{rot}}$

Das Theta ist das Trägheitsmoment des Körpers, welches angibt wie leicht er sich drehen lässt und Omega ist die Winkelgeschwindigkeit, mit der er sich dreht. Bei einer Rollbewegung gilt aber immer

$\omega=\frac{v}{r}$

(zumindest für rotationssymmetrische Körper, aber sonst ist rollen sowieso schwierig), weshalb dann insgesamt gilt:

$m\cdot g\cdot h=\frac{1}{2}v^2\left(m+\frac{\Theta}{r^2}\right)$

und damit für die Endgeschwindigkeit:

$v=\sqrt{2\frac{m\cdot g\cdot h}{m+\frac{\Theta}{r}}}=\sqrt{2\frac{m\cdot g\cdot h\cdot r}{m\cdot r+\Theta}}$

Dies gilt für jede beliebige Höhe (d.h. auch zu jedem Abstand von der Bergspitze). Wie du siehst ist erstmal eine Abhängigkeit zur Masse da. Das genaue verhalten wird aber vom Trägheitsmoment vorgegeben. Tatsächlich sind für die meisten simplen Geometrischen die Trägheitsmomente aber immer einfach proportional zur Masse, was bedeutet, dass sich die Masse aus obiger Gleichung rauskürzt. Wenn also z.B. ein Zylinder von einem Berg rollt (ohne Reibung und so), dann ist es komplett egal wie viel Masse er hat: Er wird immer gleich schnell unten ankommen, sofern seine Größe und Form gleich bleibt. Bleibt die Masse gleich aber erhöht man das Trägheitsmoment, so folgt aus obiger Gleichung, dass der Körper im Allgemeinen langsamer rollen wird.

Für den Fall mit Reibung oder mit komplexen Geometrien bzw. mit komplexen Massenverteilungen im Körper (wie bei einem Menschen), hat man im Allgemeinen aber sehr wohl eine Abhängigkeit der Masse. Die Reibung ist nämlich meist nur von Form und Geschwindigkeit abhängig, was bedeutet dass alle Körper unabhängig von ihrer Masse die selbe Reibung erfahren. Körper mit größerer Masse haben nach Abzug der Reibung aber weiterhin also mehr beschleunigende Kraft als die leichteren Massen, weshalb sie trotzdem länger beschleunigt werden, bevor sie ihre maximale Geschwindigkeit erreichen (das ist genauso im freien Fall). Also hier würde wohl grob gelten: Je schwerer die Masse, desto schneller kommt der Körper unten an (bei gleichem Trägheitsmoment).

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Physik Studium - Master in theoretischer Physik

Answer 2

[Clemens1973]

Von der Theorie her und ohne Luftwiderstand: die Masse spielt keine Rolle. Relevant ist einzig das Trägheitsmoment. Je grösser letzteres (d.h., je stärker die Massenverteilung weit aussen konzentriert ist), umso geringer die Beschleunigung.

Answer 3

[ant8eart]

Im Vakuum fallen alle Gegenstaende gleich schnell. An der Luft fallen schwere Koerper schneller als leichte. Man kann das auf das Bergabrollen zweier Koerper mit unterschiedlichem Gewicht und gleicher Dichte uebertragen. Die Rollreibung soll dabei keine Rolle spielen. Schwere (groessere) Koerper rollen schneller bergab, weil sie weniger Luftwiderstand haben in Bezug zu ihrer Masse. Absolut ist dieser allerdings groesser.