Ganzrationale Funktion bestimmen mit Hochpunkt und Tiefpunkt?

3 Antworten

Es gibt hier auch die Möglichkeit, Zeilenvorschub zu machen. So ist dein Text ja Kraut und Rüben. Deshalb zeige ich dir gleich die Ansätze, die ich machen würde, ohne deine zu prüfen.

Aus der Tatsache eines Hoch- und Tiefpunktes kann man vom 3. Grad ausgehen. Es werden also 4 Gleichungen gebraucht.

Aufstellung von Funktion und Ableitung:

f(x)   = ax³ + bx² + cx + d
f '(x) = 3ax² + 2bx + c

Gegeben:
H (0/0) und T (2/-4)         Das sind sowohl 2 Kurvenpunkte als auch 2 Angaben
                                      für die erste Ableitung:

I      x = 0                       d = 0
II     x = 2       8a + 4b + c  =  -4           wenn ich d = 0 schon einbeziehe
III    x = 0                       c =  0             aus 1. Ableitung
IV    x = 2      12a + 4b       =  0            wenn ich  c = 0  einbeziehe

Reduziert wird aber auch Gleichung II, sodass ich jetzt noch habe:

II       8a + 4b = -4
IV    12a + 4b =  0

Und das ist ja leicht zu lösen. c und d entfallen ohnehin.

Hierführ braucht man Spezialwissen,wie ich es habe.

Solch ein Graph ist nur mit y=f(x)=a3*x³+a2*x² möglich

abgeleitet f´(x)=3*a3*x²+2*a2*x nun Werte einsetzen

1. a3*2³+a2*2²=-4 aus den T(2/-4) also x=2 und f(2)=-4

2.f´(x)=0=3*a3*2²+2*a2*2=0 aus der Ableitung und den T(2/-4) x=2 f´(2)=0

wir haben nun ein "lineares Gleichungssystem" (LGS) mit 2 Unbekannten und 2 Gleichungen,also lösbar.

dies schreiben wir nun um,wie es im Mathe-Formelbuch steht.

1.8*a3+4*a2=-4

2. 12*a3+4*a2=0 Lösung a3=1 und a2=-3

gesuchte Funktion y=f(x)=x³-3*x²

Herleitung:

f(x)=a3*x³+a2*x²+a1*x+ao mit H(0/0) x=0 ist ao=0

bleibt f(x)=a3*x³+a2*x²+a1*x abgeleitet

f´(x)=0=3*x²+2*a2*x+a1 mit H(0/0) ist auch hier x=0 also auch a1=0

bleibt also nur noch f(x)=a3*x³+a2*x²

Bei II muss links vom Gleichheitszeichen -4 stehen, ansonsten hast du das Gleichungssystem richtig aufgestellt.

Aus I und III kannst du d bzw c direkt ablesen und kannst die entsprechenden Werte in II und IV einsetzen. Es bleiben also 2 lineare Gleichungen und 2 Variablen übrig.

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