Frage zu Umformulierung von Matrizen?

Ich habe folgende Matrixberechnung gegeben:

1/2 * (x⊤ B x + x⊤ B⊤ x)

Ich würde es gerne wie folgt in eine Summe umschreiben, weiss aber nicht, ob das zulässig ist:

1/2 * 2 * 𝚺 xi⊤ xi Bij

Kann mir jemand sagen, ob das erlaubt ist oder wie man es korrekt umschreiben müsste?

Answer 1

[mihisu]

Nein.

Was soll denn überhaupt „xi⊤“ sein? Was ist der Laufindex der Summe, und in welchen Grenzen? Wenn beispielsweise nur über i summiert wird, was ist dann mit dem j-Index bei „Bij“.

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Was man machen könnte, wäre

$\frac{1}{2}\cdot \left(x^\text{T}\cdot B\cdot x+x^\text{T}\cdot B^\text{T}\cdot x\right)$

beispielsweise zu

$\frac{1}{2}\cdot x^\text{T}\cdot \left(B+B^\text{T}\right)\cdot x$

zu vereinfachen. Oder man könnte das auch zu

$\frac{1}{2}\cdot \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}x_\text{i}\cdot \left(B_{ij}+B_{ji}\right)\cdot x_j$

umschreiben.

Beachte dabei aber, dass B und Bᵀ im Allgemeinen nicht das Gleiche ist. [Das wäre nur für sogenannte symmetrische Matrizen das Gleiche.] Bzw. sind dementsprechend Bᵢⱼ und Bⱼᵢ nicht das Gleiche. Dementsprechend kann man Bᵢⱼ + Bⱼᵢ auch nicht einfach zu 2⋅Bᵢⱼ zusammenfassen.