Formel Erklärung - harmonische Wellen?
y(x,t) = y_max * sin( w t - 2 pi * (x / lambda))
Ich möchte vor allem verstehen, was der Term 2* pi * (x / lambda) bedeutet :)
6 Antworten
y ist hier von 2 Variablen abhängig, der Zeit t und der Stelle x, an der man die Welle betrachtet.
Dementsprechend gibt es auch die beiden Terme, wobei der erste die zeitliche und der zweite die örtliche Abhängigkeit (Phasenverschiebung) angibt.
sin (omega * t) dürfte klar sein.
Für t = 0 fängt die Welle mit Null an, denn sin 0 = 0
Für t = pi/2 ist der Sinus = 1 und es liegt die maximale Amplitude vor.
Nun gibt es aber das Phänomen der Phasenverschiebung, d.h. die Welle fängt bei t = 0 nicht mit y = 0 an, sondern ist ein Stück in x-Richtung verschoben. Diese Verschiebung wird mit dem Term 2 pi * (x / lambda) beschrieben.
2pi ist eine komplette Schwingung und 2 pi * (x / lambda) ist der Anteil einer kompletten Welle, um die die Phase verschoben ist.
Haben wir keine Phasenverschiebung, ist x = 0 und damit wird auch 2 pi * (x / lambda) zu Null und die Wellengleichung ohne Phasenverschiebung wird zu y(t) = ymax * sin (omega * t)
lambda ist die Wellenlänge und wenn wir jetzt mal annehmen, die Phasenverschiebung würde eine viertel Welle betragen, dann ist x = lambda/4, dann ist die Welle um
2pi * 0,25 = pi /2
phasenverschoben.
Damit ergibt sich für t=0
y(t,x) = ymax * sin (-2pi * (lambda/2lambda) ) = sin (-pi /2) = -1
Anbei zum besseren Verständnis eine Skizze...
Die Gleichung
(1) y(x,t) = y_{max}·sin(ωt − 2π*(x/λ))
ist eine 1D-Wellengleichung, die ich etwas anders kenne, nämlich als
(2) y(x,t) = y_{max}·sin(kx − ωt),
wobei natürlich
(3) k := 2π/λ
ist und auch "Wellenzahl" genannt wird und natürlich in 1/m gegeben wird. Es ist sozusagen die Anzahl der Wellenberge bzw. Wellentäler pro Meter, multipliziert mit 2π - Letzteres deshalb, weil die trigonometrischen Funktionen 2π-periodisch sind und k sozusagen das räumliche Äquivalent zu ω darstellt. Ich würde eher von "linearer Phasen- oder Periodendichte" sprechen, denn die Zahl gibt an, wie viele Perioden auf einem Meter Strecke liegen bzw. wie oft die Phase auf der Strecke "umläuft".
Natürlich können sich Wellen nicht nur entlang von Seilen oder dergleichen ausbreiten, sondern es gibt sie auch als Wasser-, Schall und Lichtwellen, also entlang einer Ebene in 2D oder durch den Raum in 3D. In diesem Fall ist eine Vektorielle Formulierung von (2), nämlich
(4) y(x,t) = y_{max}·sin(⟨k|x⟩ − ωt)
angebracht, wobei ⟨k|x⟩ das Skalarprodukt zwischen dem Wellenvektor |k⟩ und dem Ortsvektor |x⟩ darstellt, dessen Betrag k·x·cos(α) ist (α ist der Winkel zwischen |k⟩ und |x⟩).
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In der Quantentheorie gibt es nicht nur einen fundamentalen Zusammenhang
(5.1) E = ℏω
zwischen Energie und Kreisfrequenz, sondern auch
(5.2) |p⟩ = ℏ|k⟩
zwischen Impuls und Wellenvektor.
Du kannst den Ausdruck
w t
bzw.
ω t
umschreiben zu
2 π t / T
(T = zeitliche Periode)
Dann hast du weitestgehende Analogie zu
2 π x / λ
(λ = räumliche Periode = Wellenlänge)
Wie T angibt, welche Zeit man an einem bestimmten Raumpunkt in der Zeit nach vorn gehen (warten) muss, bis die Welle wieder denselben Zustand hat, so gibt λ an, welchen Weg man an einem bestimmten Zeitpunkt im Raum nach hinten (negatives Vorzeichen) gehen muss, bis die Welle wieder denselben Zustand hat.
Der Vorfaktor 2 π setzt die Ausdrücke t / T bzw. x / λ nur in Radiant um, damit man die Sinusfunktion darauf anwenden kann. (In der Physik berechnet man trigonometrische Funktionen grundsätzlich von Winkeln im Bogenmaß.) Man könnte natürlich auch den Vorfaktor 360° nehmen - das ist dasselbe im Gradmaß.
y(x,t) = y_max · sin ( (2 · π · f · x / λ) - ω · t )
kann schon wegen der Einheiten nicht richtig sein - f hat die Einheit einer inversen Zeit.
Vermutlich muss es lauten:
y(x,t) = y_max · sin ( (2 · π · x / λ) - ω · t )
Das ist - bis auf das Vorzeichen - tatsächlich dasselbe wie der Ausdruck, den du in der Frage genannt hast.
Der Unterschied liegt darin:
Wenn wir uns zur Zeit 0 an den Ort 0 stellen:
Im Ausdruck in der Frage steigt die Welle mit der Zeit an (und fällt mit zunehmendem Ort)
In diesem Ausdruck steigt die Welle mit dem Ort an (und fällt mit zunehmender Zeit).
Formel "harmonische Schwingung" y=f(x)= a *sin(w *x + b)
a bestimmt nur die Amplitude
w ist die Winkelgeschwindigkeit in rad/s (nennt man auch Kreisfrequenz)
b ist der "Phasenwinkel , der verschiebt nur die Kurve entlang der x-Achse
b>0 verschiebt die kurve nach links
b<0 verschiebt nach rechts
Bei dir ist b= - 2 *pi * x/Lambda
y( t ,x) bedeutet,das hier 2 unabhängige Variablen vorliegen.
Im Normalfall ist das nur y(x)=f(x) also nur 1 unabhängige Variable.
Die Wellengleichung der linearen harmonischen Welle lautet nach
meinem Verständnis:
y(x,t) = y_max · sin ( ω · t – 2 · π · f · x / λ ) = y_max · sin ( ω · ( t – x / λ ) )
Gruß, H.
Habe die Formel auch so gelesen:
y(x,t) = y_max · sin ( (2 · π · f · x / λ) - ω · t )
Ist die auch richtig..? Hab noch me frage weil im buch wird noch ein phasenwinkel phi dazuaddiert aber beschreibt nicht ω · t schon eine Verschiebung?
Die Wellengleichung beschreibt die lineare harmonische Welle
als einen physikalischen Vorgang, der mit einer sich örtlich und zeitlich periodisch ändernden physikalischen Größe, z.B. der Auslenkung gekoppelter schwingfähiger Teilchen einer Seilwelle, beschrieben wird. Unter diesem Aspekt kann die Wellengleichung einzeln die örtliche bzw. die zeitliche Abhängigkeit der Auslenkung y beschreiben.
Für t = konst. gilt: y = f(x) = y_max · sin ( ω · ( t – x / λ ) )
Der Graph dieser Funktion f ist quasi die Momentaufnahme der Elongationen aller Teilchen der linearen harmonischen Welle zu einem bestimmten Zeitpunkt t.
Für x = konst. gilt: y = g(t) = y_max · sin ( ω · ( t – x / λ ) )
Der Graph dieser Funktion g stellt die Elongation eines Teilchens der Seilwelle an einem bestimmten Ort x in zeitlicher Abhängigkeit dar.
Der Term t - x / λ ist ist die Zeitdifferenz mit der sich eine bestimmte Schwingungsphase vom Ort x = 0 bis zum Ort x in positiver x-Richtung ausbreitet.
Berichtigung!
y(x,t) = y_max · sin ( ω · t – 2 · π · f · x / c) = y_max · sin ω · ( t – x / c )
Habe die Formel auch so gelesen:
y(x,t) = y_max · sin ( (2 · π · f · x / λ) - ω · t )
Ist die auch richtig..? Wenn ich an den einheitskreis denke dürfte es kaum einen Unterschied machen von den Werten.. Bloß das vorzeichen ist anders :o