Extremwertaufgabe mit nebenbedingungen?
In Mathe muss ich nun als Hausaufgabe folgende Aufgabe machen:
ein rechteckiges Grundstück soll den Flächeninhalt 400m^2 erhalten. Wie lang sind die Seiten des Rechtecks zu wählen, damit der Umfang minimal wird?
mein Problem ist, dass ich nicht weiß wie ich da anfangen soll... der Rest sollte dann gehen, aber irgendwie finde ich keinen Ansatz...
5 Antworten
Der Umfang berechnet sich zu:
U(a, b) = 2*(a + b)
Die Nebenbedingung lautet:
g(a, b) = a*b - A = 0
Das Optimierungsproblem lautet also wie folgt:
min U(a, b)
s.t. g(a, b) = 0
Hier kann man tatsächlich durch einfaches Umformen der Nebenbedingung die Dimension reduzieren. Es folgt nämlich:
g(a, b) = a*b - A = 0 ---> b = A/a für a und b ungleich 0. Entsprechend folgt durch Einsetzen in die Gleichungen für den Umfang:
U(a) = 2*(a + A/a)
Hier kann man nun mit den Mitteln der Differentialrechnung nach Extrema suchen. Differenziere nach a und setze gleich 0:
U´(a) = 2*(1 - A/a²) = 0
--> a = sqrt(A)
Die zweite Ableitung nach a liefert dann die Information ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt:
U´´(a) = 4A/a^3
entsprechend folgt für a = sqrt(A) U´´ > 0 --> lokales Minimum. Entsprechend lautet die Lösung des Problemes:
a = sqrt(A)
b = sqrt(A)
es handelt sich also um ein Quadrat mit Seitenlänge sqrt(A).
Siehe hier.
Das sollte "Ansatz" genug sein; es ist schon die halbe Rechnung.
Die gesuchte Größe liefert immer die Hauptbedingung (Hauptgleichung),weil diese ja optimiert werden soll.
1) U=2*b+2*l Umfang vom Rechteck
2) A=b*l ergibt l=A/b Fläche vom Rechteck A=400 m²
2) in 1)
U(b)=2*b+2*A/b nun eine Kurvendiskussion durchfühen,um die Extrema zu bestimmen
abgeleitet
U´(b)=0=2-2*A/b² siehe Mathe-Formelbuch Differentationsregeln
spezielle Quotientenregel (1/v)´=-1*v´/v²
(1/b)´=-1*1/b²
0=2-2*A/b² Nullstellen bei 2*A/b²=2 ergibt b=+/-Wurzel(A)
b=+/-Wurzel(400 m²)=+/- 20 m also b=20 m weil positiv
nun prüfen,ob ein Maximum oder Minimum vorliegt
abgeleitet
U´´(b)=4/b³ >0 also liegt ein Minimum vor
A=20 m *20 m=400 m² ist also ein Quadrat.
Hauptbedingung
Umfang U = 2a + 2b
Nebenbedingung
Fläche : a*b = 400 m²
Nach a oder b umstellen
und in U einsetzen
ableiten usw.
Jedes Rechteck gegebener Fläche hat den kleinsten Umfang, wenn seine Seiten gleichlang sind.