Extremwertaufgabe mit nebenbedingungen?

5 Antworten

Die gesuchte Größe liefert immer die Hauptbedingung (Hauptgleichung),weil diese ja optimiert werden soll.

1) U=2*b+2*l Umfang vom Rechteck

2) A=b*l ergibt l=A/b Fläche vom Rechteck A=400 m²

2) in 1)

U(b)=2*b+2*A/b nun eine Kurvendiskussion durchfühen,um die Extrema zu bestimmen

abgeleitet

U´(b)=0=2-2*A/b² siehe Mathe-Formelbuch Differentationsregeln

spezielle Quotientenregel (1/v)´=-1*v´/v²

(1/b)´=-1*1/b²

0=2-2*A/b² Nullstellen bei 2*A/b²=2 ergibt b=+/-Wurzel(A)

b=+/-Wurzel(400 m²)=+/- 20 m also b=20 m weil positiv

nun prüfen,ob ein Maximum oder Minimum vorliegt

abgeleitet

U´´(b)=4/b³ >0 also liegt ein Minimum vor

A=20 m *20 m=400 m² ist also ein Quadrat.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – hab Maschinenbau an einer Fachhochschule studiert

Der Umfang berechnet sich zu:

U(a, b) = 2*(a + b)

Die Nebenbedingung lautet:

g(a, b) = a*b - A = 0

Das Optimierungsproblem lautet also wie folgt:

min U(a, b)

s.t. g(a, b) = 0

Hier kann man tatsächlich durch einfaches Umformen der Nebenbedingung die Dimension reduzieren. Es folgt nämlich:

g(a, b) = a*b - A = 0 ---> b = A/a für a und b ungleich 0. Entsprechend folgt durch Einsetzen in die Gleichungen für den Umfang:

U(a) = 2*(a + A/a)

Hier kann man nun mit den Mitteln der Differentialrechnung nach Extrema suchen. Differenziere nach a und setze gleich 0:

U´(a) = 2*(1 - A/a²) = 0

--> a = sqrt(A)

Die zweite Ableitung nach a liefert dann die Information ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt:

U´´(a) = 4A/a^3

entsprechend folgt für a = sqrt(A) U´´ > 0 --> lokales Minimum. Entsprechend lautet die Lösung des Problemes:

a = sqrt(A)

b = sqrt(A)

es handelt sich also um ein Quadrat mit Seitenlänge sqrt(A).

Hauptbedingung

Umfang U = 2a + 2b

Nebenbedingung

Fläche : a*b = 400 m²

Nach a oder b umstellen

und in U einsetzen

ableiten usw. 

Jedes Rechteck gegebener Fläche hat den kleinsten Umfang, wenn seine Seiten gleichlang sind.

Siehe hier.

Das sollte "Ansatz" genug sein; es ist schon die halbe Rechnung.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Höheres Fachsemester

Was möchtest Du wissen?