Wie berechnet man von einem minimales Rechteck den Umfang?

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Seien a und b die Seiten des Rechtecks. 

Extremalbedingung: Umfang soll minimal sein, also stellen wir die Formel des Umfangs eines Rechtecks auf.

u(a,b) = 2a + 2b

Nebenbedingung: Die Fläche des Rechtsecks soll 400 cm² sein, also stellen wir die Formel der Fläche eines Rechtecks auf und setzen diesen Flächeninhalt auf den Wert 400.

A(a,b) = a * b,

a * b = 400.

Umformen der Nebenbedingung nach b:

b = 400 / a.

Nun wird b durch 400 / a in der Extremalbedingung ersetzt, man erhält dadurch die Zielfunktion:

u(a) = 2a + 2 * 400 / a,

u(a) = 2a + 800 / a

An dieser Stelle kommt man nur noch mithilfe der Differentialrechnung weiter.

Mit u(a) = 2a + 800 a^(-1) ist dann

u'(a) = 2 - 800 a^(-2) = 2 - 800 / a²,

u''(a) = 1600 a^(-3) = 1600 / a³.

Wir suchen den Tiefpunkt der Kurve von u, also stellen wir die 1. Abelitung u'(a) auf Null:

u'(a) = 0,

0 = 2 - 800 / a²,

800 / a² = 2,

800 = 2a²,

400 = a²,

a = 20.

Einsetzen von a=20 in die 2. Ableitung ergibt

u''(a) = u''(20) = 1600 / 20³ > 0, folglich Linkskurve, also lokales Minimum in a=20.

Dann ist b = 400 / a = 400 / 20 = 20.

Die Seitenlängen des Rechtecks sind

a = 20 cm und b = 20 cm, also ist das Rechteck ein Quadrat.

 - (Mathe, Mathematik, Gymnasium)

Du hast die Fläche gegeben: a*b=400
Der Umfang U ist U=2a+2b; Gleichung 1 umformen, und in 2. Gleichung einsetzen, damit Du dort nur noch eine Variable hast:
=> U=2a+2*(400/a); der Umfang ist von a abhängig, also schreibst Du:

U(a)=2a+2*(400/a); das mußt Du nun ableiten, dann U'(a)=0 ausrechnen, und mit U''(a) prüfen, was für ein Extremwert es ist.
Dann wirst Du feststellen, dass ein Quadrat den geringsten Umfang hat...

Umfang ist im Rechteck 2 mal a plus 2 mal b

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