Extremwertaufgabe?

Leute könnt ihr mir bitte den einfachsten Weg zeigen, um sie zu lösen. Diese Aufgabe hat mich verwirrt und ich kann nicht zu Ende kommen.

Answer 1

[Kaenguruh]

Es gilt d² = b² + h² und h² = d² - b² = 3600 - b²

Also ist zu maximieren

b (3600-b²)/6 = (3600 b - b³)/6 = 600 b - 1/6 b³

Also (600 b - 1/6 b³)' = 0

600 - 3/6 b² = 0

-1/2 b² = - 600

b = +- √(600*2) = +- 34,64

Es zählt nur die positive Lösung 34,64 cm

h² = 3600 - 1200 = 2400

h = 48,99 cm

Antwort: Breite ca 34,6 cm und Höhe ca 49 cm

Answer 2

[mihisu]

Die Größe W mit

$W=\frac{b\cdot h^2}{6}$

soll maximal werden. Als Nebenbedingung hat man (da der Balken entsprechend Skizze aus dem runden Baumstamm herausgeschnitten werden soll) aufgrund des Satzes des Pythagoras (rechtwinkliges Dreieck mit Kathetenlängen h und b und Hypotenusenlänge d in der Skizze erkennbar)...

$h^2+b^2=d^2\quad \rightarrow\quad h^2=d^2-b^2$

Dementsprechend kann man h² in der Formel für W ersetzen. So erhält man für die zu maximierende Größe W in Abhängigkeit der Größe b...

$W(b)=\frac{b\cdot \left(d^2-b^2\right)}{6}$

[wobei d = 60 cm bekannt ist, sodass der Funktionterm tatsächlich nur noch von einer unbekannten Größe b abhängt]

Dabei ergibt sich im Sachzusammenhang, dass 0 < b < d sein muss. [Klar: Die Länge b muss positiv sein. Außerdem muss die Balkenbreite b kleiner als der Baumstammdurchmesser d sein.] Dementsprechend erhält man ]0; d[ als Definitionsbereich für die Zielfunktion W(b).

Um das Maximum dieser Zielfunktion zu berechnen, kann man die erste Ableitung Zielfunktion bilden, und untersuchen, wo diese gleich 0 wird.

$W(b)=\frac{b\cdot \left(d^2-b^2\right)}{6}=\frac{d^2\,b-b^3}{6}$

$W'(b)=\frac{d^2-3b^2}{6}$

$W'(b)=0\quad \leftrightarrow\quad d^2-3b^2=0$

$\quad \leftrightarrow\quad 3b^2=d^2$

$\quad \leftrightarrow\quad b^2=\frac{d^2}{3}$

$\quad \xleftrightarrow{b>0}\quad b=\sqrt{\frac{d^2}{3}}$

$\quad \leftrightarrow\quad b=\frac{\sqrt{d^2}}{\sqrt{3}}$

$\quad \xleftrightarrow{d>0}\quad b=\frac{d}{\sqrt{3}}$

Also erhält man...

$b=\frac{d}{\sqrt{3}}=\frac{60\,\text{cm}}{\sqrt{3}}\approx 34\text{,}64\,\text{cm}$

An den Rändern des Definitionsbereichs der Zielfunktion (für b → 0 bzw. b → d) nähert sich W dem Wert 0, sodass bei b ≈ 34,64 cm tatsächlich das absolute Maximum von W(b) liegt.

Den zugehörigen Wert für h erhält man, indem man bei der zuvor schon erhaltenen Gleichung h² = d² - b² die Wurzel zieht, um h = √(d² - b²) zu erhalten...

$\rightarrow\quad h=\sqrt{d^2-b^2}=\sqrt{\left(60\,\text{cm}\right)^2-\left(\frac{60\,\text{cm}}{\sqrt{3}}\right)^2}\approx 48\text{,}99\,\text{cm}$

Ergebnis:

$b\approx 34\text{,}64\,\text{cm};\ h\approx 48\text{,}99\,\text{cm}$

Answer 3

[Hamburger02]

Die Zielfunktion ist ja schon gegeben:

W = (b*h^2)/6

Wir haben zwei Variablen: h und b. Die eine ist von der anderen abhängig und wie, formulieren wir mit der Nebenbedingung. Dabei hilft uns das Bild, einen Zusammenhang zwischen h, b und d herzustellen. Da fällt direkt der Pythagoras ins Auge:

h^2+ b^2 = d^2
das können wir nach h^2 oder b^2 auflösen. Wir schauen noch mal auf die Zielgunktion und stellen fest, dort kommt h^2 vor, also nehmen wir das und erhalten:

h^2 = d^2 - b^2

Das setzen wir in die Zielfunktion ein:
W = b*(d^2 - b^2)/6
nun haben wir W nur noch in Abhängigkeit von b. Das ist unsere Extremalfunktion. Die müssen wir so vereinfachen und umformen, dass wir bequem ableiten können:

W(b) = (b*d^2 - b^3) / 6 = b*d^2/6 - b^3/6

Um das Maximum zu finden müssen wir ableiten:
W'(b) = d^2/6 - 3b^2/6
mit d = 60 cm folgt:

W'(b) = 600 - b^2/2

das setzen wir zu 0:
600 - b^2/2 = 0
1200 - b^2 = 0
b^2 = 1200
b = √1200 = 34,6 cm

aus h^2 = d^2 - b^2
folgt:
h^2 = 3600 - 1200 = 2400
h = 49,0 cm

Ich habs aber nicht nachgerechnet. Das Ergebnis wirkt aber plausibel.