Exponentialfunktion Ableiten und Integrale?

 - (Schule, Mathe, Mathematik)

4 Antworten

a) f(x)=3*e^(x) integriert

F(x)=∫3*e^(x)*dx=3*∫e^(x)*dx

F(x)=3*e^(x)+C obere Grenze xo=0 untere Grenze xu=-∞

A=obere Grenze minus untere Grenze

A=(3*e⁰) - (3*e^(-∞)) mit e^(-∞)=1/e^(∞)=0

A=3*e⁰=3*1=3 FE (Flächeneinheiten)

b) f(x)=x-e^(x) integriert

F(x)=∫(x-e^(x))*dx=∫x*dx-1*∫e^(x)*dx

F(x)=1/2*x²-1*e^(x)+C obere Grenze xo=2 und untere Grenze xu=0

A(1/2*2²-1*e²) - (1/2*0²-e⁰)=(-5,389) - (-1)

A=-5,389+1=-4,389 FE

Betrag |A|=4,389 FE (Flächeneinheiten)

Hinweis:Das Minuszeichen tritt auf,weil die Fläche A unter der x-Achse liegt

c) F(x)=∫(e^(x)-x)*dx

F(x)=e^(x)-1/2*x²+C xo=1 und xu=0

A=große Fläche minus kleine Fläche

A=Ag - Ak mit Ak=1*1=1 FE

Ag=(e¹-1/2*1²) - (e⁰-1/2*0²)=(2,21828) - (1-0)

Ag=1,21828

A=1,21828-1=0,21828 FE

d) Fläche zwischen 2 Graphen A=∫f(x)-g(x)

f(x)=obere Begrenzung

g(x)=untere Begrenzung

A=∫(-1*x²+e^(x)) - (-1*x+e^(x))=∫-1*x²+e^(x)+x-e^(x))*dx

A=-1*∫x²*dx+1*∫x*dx

A=-1/3*x³+1/2*x²+C mit xo=1 und xu=0

A=(-1/3*1³+1/2*1²) - (0)=-1/3+1/2=-2/6+3/6

A=1/6 FE

2 Möglichkeit:

A=große Fläche minus kleine Fläche

A=(F1(xo)-F1(xu)) - (F2(xo) - F2(xu)) mit xo=1 und xu=0

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – hab Maschinenbau an einer Fachhochschule studiert

Zuerst musst du gucken, in welchem Intervall der markierte Flächeninhalt liegt. Bei b z.B. zwischen 0 und 2 oder bei c von 0 bis 1.

Dann leitest du die Funktionen jeweils auf, also z.B. bei b ist F(x)=0,5x^2 die Aufleitung. Beachte, dass die Aufleitung wie F(x) immer abgeleitet f(x) ergibt.

Dann berechnest du das Integral, indem du die höhere der beiden Zahlen minus die kleinere rechnest. Dafür setzt du bei z.B. bei b zuerst 2 für x ein und danach 0 für x. Also: (0,5*2^2-e^2)-(0,5*0^2-e^0).

b)

Praktisch : Das Integral von e^x ist auch e^x

Das Integral lautet

F(x) = 1/2 * x² - e^x

Einsetzen von 0 und 2

1/2 * 2² - e^2 - ( 1/2 * 0² - e^0 ) =

2 - e² + 1 = 3 - e²

c) 

F(x) = e^x - 1/2 * x²

Einsetzen 1 und 0 

und schließlich noch 1*1 abziehen, denn die Fläche unter der Kurve reicht ja nur bis y = 1

d)

hier darf und muss man 

schwarz minus rot bestimmen 

und dann das Integral danach

-x² + e^x - ( -x + e^x ) =

-x² + x 

-1/3 * x³ + 1/2 x²

die Schnittpunkte beider Fkt sind

dir schon gegeben : x = 0 und x = 1 

ergänzung zu b)

2 - e² + 1 = 3 - e² ist < 0 , für die F lächen E inheiten FE nimmt man den Betrag .

0

Beim Integral musst du immer aufleiten

bei a) wäre das F(x)=3/1e^x

Die Grenzen siehst du anhand der gelben fläche. Also 0 und -4

Diese Grenzen setzt du in die F(x) ein, dabei die größere Zahl, in dem Fall 0 F(0) zuerst: 3/1e^0. Davon ziehst du die F(-4) ab (3/1e^(-4)) ab. Deine Rechnung lautet also zusammengefasst: 3/1e^0-(3/1e^(-4)) ist dein Integral.

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