DRINGEND! Abnahme pro Zeiteinheit in % berechnen?
Ich habe folgendes gegeben und soll daraus die Abnahme pro Zeiteinheit in % berechnen.
Element Caesium:
Halbwertszeit=30 Jahre
Lambda=0,0231/Jahr
Nach 199 Jahren ist noch 1% des Elements vorhanden
Ich habe versucht, dies mithilfe der Konstante Lambda zu berechnen:
b=e^y=e^0,023104...=1,0227
Dies ergibt ja ungefähr die gesuchten 2,28%, jedoch reichlich ungenau.
Wie lautet die korrekte Formel zur exakten Berechnung? Wie komme ich zum Ergebnis??
Ist recht dringend, da ich mit der Erledigung dieser Aufgaben möglichst schnell vorankommen muss, um mein heutiges Pensum zu schaffen.
Bin für schnelle Antworten sehr, sehr dankbar!
MfG
3 Antworten
Du hast ja bereits in einer alten Antwort von mir die Möglichkeit gefunden, das auszurechnen, da wurde jedoch ein Modell benutzt, welches nicht e als Basis benutzt. Für eine Halbwertszeit von 30 Jahren ergibt sich dort ein Wachstumsfaktor q von etwa 0,9772 nach der Formel q=³⁰√(1/2). Das entspricht einer Abnahme von knapp 2,28% pro Jahr. Dann kommt für t=199 auch ungefähr 1% Stoffmenge (exakter: knapp 1,01%) raus.
Mit e als Basis sollte natürlich was ähnliches rauskommen.
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Hier kann man nun zwei Ansätze wählen: f(t)=C * e^(λ*t) oder f(t)=C* e^(-λ*t). C soll hier für die Anfangsmasse des Elements stehen.
In der ersten Methode muss λ negativ sein, in der zweiten positiv; ansonsten nimmt die Stoffmenge zu. Beide Methoden sind offensichtlich äquivalent.
Der Ansatz, den ich bei dir rauslese, läuft auf f(t)=C * e^(0.023104*t) hinaus. Dann wird die Stoffmenge aber mehr. Du kriegst eine Zunahme raus, aber die Abnahme ist gesucht.
Ich nehme hier jetzt Methode zwei, damit λ an sich positiv ist. Diese ist auch gängiger. Was man letztendlich nimmt, ist aber Geschmackssache.
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Hier kann man jetzt wieder zwei Ansätze wählen. Entweder errechnet man λ ausgehend von f(30)=C/2 oder von f(199)=0.01. Beide Ansätze liefern ein etwas anderes λ. Für f(30)=C/2 kommt λ≈0,023105 raus, für den anderen Ansatz λ≈0,0231416.
Ich nehme hier jetzt das λ der ersten Methode. Die Halbwertszeit scheint mir zuverlässiger als die Stoffmenge nach 199 Jahren. Also: λ wird auf 0,023105 festgesetzt.
Also steht fest: f(t)=C * e^(-0,023105 * t).
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Für die prozentuale Abnahme muss man sich jetzt die Frage stellen:
Was sind f(t+1) (in Prozent) von f(t) (in Prozent), beziehungsweise, was ist f(t+1)/f(t) in Prozent?
Dazu berechnet man:
f(t+1)=C * e^(-0,023105 * (t+1))
=C * e^(-0,023105 * t - 0,023105)
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Damit gilt:
Nun berechnet man noch f(1)≈0.977159877, in Prozent also etwa 97,77%, was einer Abnahme von 2,23% entspricht. Das ist ein nicht kleiner Unterschied zu den 2,28% aus der "leichteren" Methode, aber ich vermute, dass das an irgendeiner Rundung liegt. Man kann vielleicht einfach den Mittelwert 2,255% nehmen.
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Man hätte natürlich auch einfach f(1)/f(0) rechnen können, was äquivalent dazu ist, einfach f(1) auszurechnen. Wenn man sich aber noch nicht sicher ist, ob die prozentuale Abnahme nicht vielleicht doch von Jahr zu Jahr variiert, ist diese "allgemeine" Vorgehensweise mit f(t+1)/f(t) der Beweis, dass die Abnahme für jedes Jahr die selbe ist.
Es kann doch nur dann "dringend" sein, wenn man bis zum Schluss mit den Hausaufgaben nicht fertig wird, oder? Und Du möchtest Dich mit fremden Federn schmücken?
Ich habe eben versucht, die Berechnungen mithilfe der Konstante Lambda zu machen, einzige Methode die wir bisher kennengelernt haben. Ich wollte mich erkundigen, welche anderen Methoden es gibt, außerdem liegt es nicht in meinem Interesse irgendwelche ausgerechnete Beispiele zu übernehmen, sondern lediglich die Formel kennenzulernen. Wenn mit wirklich nichts an der Schule liegen würde, hätte ich alle Freiheit der Welt sie in Richtung Arbeitswelt zu verlassen. Außerdem handelt es sich hierbei um eine persönliche Wiederholungsübung des Themas, nicht um eine Arbeit welche ich meinen Lehrpersonen vorlegen muss.
Um welche Teiteinheit geht es, In der Halbwertszeiteinheit 50