Wie bestimme ich den Wachstumsfaktor?
Hallo, in unserem Mathebuch gibt es eine Aufgabe wo wir den Wachstumsfaktor a berechnen sollen. Unser jetziges Thema ist exponentielles Wachstum.
Gegeben ist: f(3) = 13,5 und f(8) = 3280,5 Siehe Foto.
Wie berechne ich nun den Wachstumsfaktor? Vielen Dank im Vorraus für jede hilfreiche Antwort! :-)
3 Antworten
f (3) = c × a^3 = 13,5
c = 13,5/a^3
f (8) = c × a^8 = 3280, 5
=> f (8) = 13,5/a^3 × a^8 = 3280,5
13,5 × a^5 = 3280,5 | ÷ 13,5
a^5 = 242,96 | ^ (1/5)
a = 3 (gerundet!)
f (3) = c × 3^3 = 13,5
f (3) = c × 27 = 13,5 | ÷ 27
c = 0,5
f (8) = c × 3^8 = 3280,5 (Probe!)
f (8) = c × 6561 = 3280,5 | ÷ 6561
c = 0,5
Allgemeine Formel:
=> f (x) = 0,5 × 3^x
welche Formel benutzt ihr? f(x)= c • a^x ??
Wir haben zwei Datenpunkte der Form (x,y) gegeben,
(x_1,y_1)=(3,13.5), (x_2,y_2)=(8,3280.5),
so dass wir maximal zwei Parameter in unserem Modell verwenden können. Nach Annahme soll es sich um einen exponentiellen Prozess handeln, so dass die Funktion,
y = y(x) = A*exp(-k*x).
Die beiden Datenpunkte sollen auf dem Graphen der Funktion liegen, so dass,
y_1 = A*exp(-k*x_1)<=> log(y_1) = log(A)-x_1*k
y_2 = A*exp(-k*x_2) <=>log(y_2) = log(A)-x_2*k
Das ist ein lineares Gleichungssystem für log(A),k, damit (A>0) auch für (A,k) wegen Bijektivität des naürlichen Logarithmus log von R^+->R.
Wir lösen nach log(A), k auf,
log(y_2/y_1) = (x_1-x_2) *k <=> k = (x_1-x_2)^(-1)*log(y_2/y_1)
(x_2-x_1)*log(A) = x_2*log(y_1)-x_1*log(y_2) <=> log(A)=(x_2-x_1)^(-1)*(x_2*log(y_1)-x_1*log(y_2)) <=>A = exp((x_2*log(y_1)-x_1*log(y_2))/(x_2-x_1))
Damit können wir angeben,
y(x) = A*exp(-k*x)
=exp((x_2*log(y_1)-x_1*log(y_2))/(x_2-x_1))*exp(log(y_2/y_1)*x/(x_2-x_1))
=exp(log((y_1^(x_2)/y_2^(x_1))^(1/(x_2-x_1))))*(y_2/y_1)^(x/(x_2-x_1))
= (y_1^(x_2)/y_2^(x_1))^(1/(x_2-x_1))*(y_2/y_1)^(x/(x_2-x_1))
Check: y(x_1)=y_1, y(x_2)=y_2. Passt.
VG,
dongodongo.
Ja, wir benutzen die allgemeine Formel: f(n) = c • a ^ n