Exponentielles Modell?
Hallo liebe Community, wieder mal habe ich ein scheinbar unlösbares Matheproblem vor mir liegen! Die Aufgabe besagt, dass ich ein exponentielles Modell entwickeln soll! Gegeben seien die Punkte P und Q. Wie soll man das bloß machen, ich bin verzweifelt! 1. P(2/6.8) Q(5/9.3) 2. P(4/30) Q(12/5) außerdem soll ich noch unabhängig davon bei einer Exponentialfunktion f(x)= a*b^x+c mithilfe der gegeben Asymptote, dem Y-Schnittpunkt und dem Wachstumsfaktor Funktionsgleichungen bilden! HILFE! Liebe Grüße, eine verzweifelte Clara
4 Antworten
Also wir haben 2 Punkte eines Graphen gegeben der durch folgende Form charakterisiert werden kann:
f(x) = a*b^x + c
Es seien die Punkte P1( x(1) | y(1) ) und P2 ( x(2) | y(2) ) gegeben Einsetzen in die Gleichung liefert:
y(1) = a*b^(x(1)) + c
y(2) = a*b^(x(2)) + c
Wir berechnen zunächst die Basis b:
Wir eleminieren nun zunächst das c durch Subtraktion:
y(2) - y(1) = dy = a*b^(x(2)) - a*b^(x(1))
Das a entfernen wir durch Division:
dy/y(1) = (b^(x(2)) - b^(x(1)) )/b^(x(1)) II*b^(x(1))
(dy/y(1))*b^(x(1)) = b^(x(2)) - b^(x(1)) II +b^(x(1))
((dy/y(1)) + 1)b^(x(1)) = b^(x(2)) II *b^(-x(1))
mit dx = x(2) - x(1) folgt dann schließlich
((dy/y(1)) + 1) = b^(dx) II ln(...)
ln( (dy/y(1)) + 1) = dx*ln(b) II *(1/dx)
ln( (dy/y(1)) + 1)/dx = ln(b) II e^(...)
(dy/y(1) + 1)^(1/dx) = b
Damit haben wir unser b bestimmt zu (dy/y(1) + 1)^(1/dx) = b
bzw ausgeschrieben: ( (y(2) - y(1))/(y(1)) + 1 )^(1/(x(2) - x(1)) ) = b
Als nächstes bestimmen wir nun c :
Wir entfernen a wieder durch Division:
y(2)/y(1) = ( b^(x(2)) + c)/( b^(x(1)) + c) II *( b^(x(1)) + c)
(y(2)/y(1))*( b^(x(1)) + c) = b^(x(2)) + c II - c II - (y(2)/y(1))*b^(x(1))
[ (y(2)/y(1)) - 1 ]*c = b^(x(2)) - (y(2)/y(1))*b^(x(1)) II *[1/ [ (y(2)/y(1)) - 1 ] ]
c = [ b^(x(2)) - (y(2)/y(1))*b^(x(1)) ] / [ (y(2)/y(1)) - 1 ]
Damit haben wir also nun die Konstante c berechnet mit:
c = [ b^(x(2)) - (y(2)/y(1))*b^(x(1)) ] / [ (y(2)/y(1)) - 1 ]
Zuletzt bestimmen wir nun a:
Da c und b bekannt kann man simplerweise nach a umformen:
y(1) = a*b^(x(1)) + c II - c
y(1) - c = a*b^(x(1)) II * b^(-x(1))
(y(1) - c)*b^(-x(1)) = a
Damit haben wir also nun a bestimmt zu (y(1) - c)*b^(-x(1)) = a .
Durch einsetzen der so erhaltenen Werte für a,b und c erhalten wir schließlich unsere gesuchte Funktion.
Hier einmal an einem deiner Beispiele:
1. P(2/6.8) Q(5/9.3)
Einsetzen liefert für b:
b = ( (y(2) - y(1))/(y(1)) + 1 )^(1/(x(2) - x(1)) )
= [ (9.3 - 6.8)/(6.8) + 1]^(1/(5 - 2)) = 1.11
Einsetzen in c liefert:
c = [ b^(x(2)) - (y(2)/y(1))*b^(x(1)) ] / [ (y(2)/y(1)) - 1 ]
= [ 1.11^(5) - (9.3/6.8)*1.11^(2) ] / [(9.3/6.8) - 1]= -0.000053818128
Einsetzen in a liefert schließlich:
a = (y(1) - c)*b^(-x(1))
= (6.8 - (-0.000053818128))*1.11^(-2) = ca. 5.519076226
Also wir erhalten damit die Funktion:
f(x) = 5.519076226*1.11^x - 0.000053818128
Stark gerundet:
f(x) = 5.52*1.11^x - 5*10^(-5)
Einsetzen der vorgegeben Punkte liefert:
f(2) = 6.7999999999266 = 6.8 also stimmt P schon mal
f(5) = 9.2999105851118306526 = 9.3 also stimmt Q ebenfalls
Unsere stark gerundete Funktion liefert:
f(2) = 6.801142 = 6.8
f(5) = 9.301471016152 = 9.3
Wir ehalten also als gute approximation der Lösung für die erste gesuchte Funktion:
f(x) = 5.519076226*1.11^x - 0.000053818128
bzw etwas schlechter
f(x) = 5.52*1.11^x - 5*10^(-5)
Der zweite Fall verhält sich analog hierzu.
Mit Hilfe zweier Punkte kannst du nur das Modell f(x)=a·b^x bestimmen. Für das c wäre noch die vorgegebene Asymptote notwendig, die du aber hier nicht angeführt hast (Falls die Asymptote zB die Form y=5 hat, dann ist c=5).
Vorgehensweise: Die Punkte einsetzen:
- P(2/6,8): 6,8=a·b² ⇒ a=6,8/b²
- Q(5/9,3): 9,3=a·b⁵ ⇒ a=9,3/b⁵
- Gleichungssystem lösen: 6,8/b² = 9,3/b⁵ ... ·b⁵ :6,8 ⇒ b³ = 9,3/6,8 ⇒ b=∛(9,3/6,8)=1,11
- b in eine obere Gleichung einsetzen: a=6,8/1,11² ≈ 6,5
- Gleichung aufstellen: f(x)=6,5·1,11^x
Das 2.Beispiel geht genauso
Bezüglich "unabhängig davon": Wenn die Asymptote y=c ist (c ist irgendeine Zahl), dann ist der Schnittpunkt mit der y-Achse a+c ⇒ damit kannst du den Startwert a berechnen ⇒ jetzt nur mehr die einzelnen Werte einsetzen → Voilà! 😎
Viel Erfolg 😊
wenn die expofkt y = ab^x+c ist nimmst dy/dc erstmal, das gibt 0... als ist das wachstum klein gegen die mögliche asymptote... die asymptote geht durch p und q hat also die koordinaten dort vor ort, das setzt du in y ein... an der stelle vllt ne taylor entwicklung da nur kleine werte interessieren, einfach ums ein wenig zu vereinfachen.... dann passt das denke ich :)
y = a • b^x
P und Q einsetzen und a und b berechnen.