Exponentielles Modell?

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3 Antworten

Mit Hilfe zweier Punkte kannst du nur das Modell f(x)=a·b^x bestimmen. Für das c wäre noch die vorgegebene Asymptote notwendig, die du aber hier nicht angeführt hast (Falls die Asymptote zB die Form y=5 hat, dann ist c=5).

Vorgehensweise: Die Punkte einsetzen:

  • P(2/6,8): 6,8=a·b² ⇒ a=6,8/b²
  • Q(5/9,3): 9,3=a·b⁵ ⇒ a=9,3/b⁵
  • Gleichungssystem lösen: 6,8/b² = 9,3/b⁵ ... ·b⁵ :6,8 ⇒ b³ = 9,3/6,8 ⇒ b=∛(9,3/6,8)=1,11
  • b in eine obere Gleichung einsetzen: a=6,8/1,11² ≈ 6,5
  • Gleichung aufstellen: f(x)=6,5·1,11^x

Das 2.Beispiel geht genauso

Bezüglich "unabhängig davon": Wenn die Asymptote y=c ist (c ist irgendeine Zahl), dann ist der Schnittpunkt mit der y-Achse a+c ⇒ damit kannst du den Startwert a berechnen ⇒ jetzt nur mehr die einzelnen Werte einsetzen → Voilà! 😎

Viel Erfolg 😊

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Also wir haben 2 Punkte eines Graphen gegeben der durch folgende Form charakterisiert werden kann:

f(x) = a*b^x + c

Es seien die Punkte P1( x(1) | y(1) ) und P2 ( x(2) | y(2) ) gegeben Einsetzen in die Gleichung liefert:

y(1) = a*b^(x(1)) + c

y(2) = a*b^(x(2)) + c



Wir berechnen zunächst die Basis b:

Wir eleminieren nun zunächst das c durch Subtraktion:

y(2) - y(1) = dy = a*b^(x(2)) - a*b^(x(1))

Das a entfernen wir durch Division:

dy/y(1) = (b^(x(2)) - b^(x(1)) )/b^(x(1))   II*b^(x(1))

(dy/y(1))*b^(x(1)) = b^(x(2)) - b^(x(1))   II +b^(x(1))

((dy/y(1)) + 1)b^(x(1)) = b^(x(2))   II *b^(-x(1))

mit dx = x(2) - x(1)   folgt dann schließlich

((dy/y(1)) + 1) = b^(dx)   II ln(...)

ln( (dy/y(1)) + 1) = dx*ln(b)   II *(1/dx)

ln( (dy/y(1)) + 1)/dx = ln(b)    II e^(...)

(dy/y(1) + 1)^(1/dx) = b

Damit haben wir unser b bestimmt zu   (dy/y(1) + 1)^(1/dx) = b

bzw ausgeschrieben:  ( (y(2) - y(1))/(y(1)) + 1 )^(1/(x(2) - x(1)) ) = b



Als nächstes bestimmen wir nun c :

Wir entfernen a wieder durch Division:

y(2)/y(1) = ( b^(x(2)) + c)/( b^(x(1)) + c)  II *( b^(x(1)) + c) 

(y(2)/y(1))*( b^(x(1)) + c) = b^(x(2)) + c  II - c  II - (y(2)/y(1))*b^(x(1))

[ (y(2)/y(1)) - 1 ]*c = b^(x(2)) - (y(2)/y(1))*b^(x(1))  II *[1/ [ (y(2)/y(1)) - 1 ] ]

c = [ b^(x(2)) - (y(2)/y(1))*b^(x(1)) ] / [ (y(2)/y(1)) - 1 ]

Damit haben wir also nun die Konstante c berechnet mit:

c =  [ b^(x(2)) - (y(2)/y(1))*b^(x(1)) ] / [ (y(2)/y(1)) - 1 ]



Zuletzt bestimmen wir nun a:

Da c und b bekannt kann man simplerweise nach a umformen:

y(1) = a*b^(x(1)) + c  II - c

y(1) - c = a*b^(x(1))  II * b^(-x(1))

(y(1) - c)*b^(-x(1)) = a


Damit haben wir also nun a bestimmt zu   (y(1) - c)*b^(-x(1)) = a  .



Durch einsetzen der so erhaltenen Werte für a,b und c erhalten wir schließlich unsere gesuchte Funktion.




Hier einmal an einem deiner Beispiele:


1. P(2/6.8)     Q(5/9.3)


Einsetzen liefert für b:

b = ( (y(2) - y(1))/(y(1)) + 1 )^(1/(x(2) - x(1)) )

 = [ (9.3 - 6.8)/(6.8) + 1]^(1/(5 - 2)) = 1.11


Einsetzen in c liefert:

c =  [ b^(x(2)) - (y(2)/y(1))*b^(x(1)) ] / [ (y(2)/y(1)) - 1 ]

= [ 1.11^(5) - (9.3/6.8)*1.11^(2) ] / [(9.3/6.8) - 1]= -0.000053818128


Einsetzen in a liefert schließlich:

a = (y(1) - c)*b^(-x(1))

= (6.8 - (-0.000053818128))*1.11^(-2) = ca. 5.519076226


Also wir erhalten damit die Funktion:

f(x) = 5.519076226*1.11^x - 0.000053818128

Stark gerundet:

f(x) = 5.52*1.11^x - 5*10^(-5)


Einsetzen der vorgegeben Punkte liefert:

f(2) = 6.7999999999266 = 6.8   also stimmt P schon mal

f(5) = 9.2999105851118306526 = 9.3  also stimmt Q ebenfalls

Unsere stark gerundete Funktion liefert:

f(2) = 6.801142 = 6.8

f(5) = 9.301471016152 = 9.3



Wir ehalten also als gute approximation der Lösung für die erste gesuchte Funktion:


f(x) = 5.519076226*1.11^x - 0.000053818128

bzw etwas schlechter

f(x) = 5.52*1.11^x - 5*10^(-5)


Der zweite Fall verhält sich analog hierzu.

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y = a • b^x

P und Q einsetzen und a und b berechnen.

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