Exponentialfunktionen Autowert?
Moin, hab folgende Aufgabe bei der ich nicht weiterkomme: Man geht davon aus das der Verkaufswert eines PKWs jährlich um den gleichen Prozentsatz sinkt . Man kann dies mit Hilfe eines exponentiellen Modells darstellen. Nach 4 Jahren ist der PKW noch 15 000 € wert nach 6 Jahren 11 600 € wert. Wie teuer war der PKW bei der Anschaffung?
Verzweifle an der Aufgabe! Vielen Dank im Voraus!! finn
2 Antworten
Hat der Wagen zu Beginn 100% an Wert, so hat er nach einem Jahr nur noch 1-p %, rechnet man mit Preis*(1-p%),
(z. B. p=5% => Preis*0,95)
nach dem 2. Jahr dann Preis*(1-p%)*(1-p%)=Preis*(1-p%)² usw.
Da der Verfall immer gleich angenommen wird, gehst Du zuerst von den 15000 als 100% aus und rechnest 2 Jahre zurück, also
15000*(1-p)²=11600, nach p umstellen (dann mal 100 und Du hast den Prozentsatz.
Um auf den Neuwert zu kommen, dann umgekehrt rechnen:
15000/(1-p)^4=x (p ist ja bekannt, und ^4 weil 4 Jahre vergangen sind.
N(t) = N _ 0 * e ^ (-Lambda * t)
I.) 15000 = N _ 0 * e ^ (-Lambda * 4)
II.) 11600 = N _ 0 * e ^ (-Lambda * 6)
I.) N _ 0 = 15000 / e ^ (-Lambda * 4)
II.) N _ 0 = 11600 / e ^ (-Lambda * 6)
I.) und II.) gleichsetzen -->
15000 / e ^ (-Lambda * 4) = 11600 / e ^ (-Lambda * 6)
e ^ (-Lambda * 6) / e ^ (-Lambda * 4) = 11600 / 15000
e ^ (-Lambda * 6 + Lambda * 4) = 11600 / 15000
- 6 * Lambda + Lambda * 4 = ln(11600 / 15000)
- 2 * Lambda = ln(11600 / 15000)
Lambda = - ln(11600 / 15000) / 2
Lambda = 0.1285225514949455519981298747774064...
15000 = N _ 0 * e ^ (-Lambda * 4)
N _ 0 = 15000 / e ^ (- (- ln(11600 / 15000) / 2) * 4)
N _ 0 = 15000 / e ^ (2 * ln(11600 / 15000) )
N _ 0 = 25081.74791914387633769322235434...
Der PKW war bei der Anschaffung also 25081,75 € wert (gerundet).
Mit der Formel -->
N(t) = 25081.7479191439 * e ^ (-0.1285225515 * t) kannst du den Wert für jedes beliebige Jahr berechnen.