Beweis für allgemeneine Gültigkeit einer Gleichung mit Transformation einer Funktion die von mehreren Variablen abhängt?

Ich habe gerade versucht mithilfe der Definition von einer Ableitung die Ableitung einer Funktion f die von mehreren Funktionen g und h abhängt, also f'(g(x),h(x)) zu finden. Dabei kam ich nach einigen Rechnungen (wo durchaus ein paar Fehler drin sein könnten) bei der Gleichung auf dem Bild heraus.

Meine (nicht all zu zuverlässige) mathematische Intuition sagt mir, dass diese Gleichung plausibel wirkt, wenn man versucht sich das z.b. grafisch vorzustellen.

Nun meine Fragen: Stimmt diese Gleichung ?

Und wie könnte man beweisen, dass diese Gleichung stimmt bzw. dass sie Unsinn ist?

Ich hatte die Idee auf beiden Seiten einfach über den Limes Epsilon gegen null laufen zu lassen, aber das wirkt etwas zu einfach und irgendwie unfair.

Kann mir da jemand weiterhelfen?

Answer 1

[RitterToby08]

Schau einfach mal, ob die Gleichung für h(x)=g(x)=x und f(x,y)=xy erfüllt ist. Das wird nicht der Fall sein.

Was du hier betrachtest, ist die Komposition der zwei Funktionen:

$f:\ \mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R},\ \left(x,y\right)\ \mapsto\ f\left(x,y\right)$ $F:\ \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^2,\ x\ \mapsto\ \left(g\left(x\right),\ h\left(x\right)\right)$ Und dein Ziel ist die Berechnung von (f∘F)'(x). Dazu kannst du z.B. die mehrdimensionale Kettenregel verwenden. Aber ich weiß leider nicht, auf welchem Stand sich dein Wissen über Differentialrechnung bewegt. Falls du die Definition zu Differenzierbarkeit von mehrdimensionalen Funktion suchst, wirst du hier fündig. Die Idee mit dem Epsilon ist nicht mal so falsch.