Beweis das Pi irrational ist?

6 Antworten

Mit Abstand das deutlichste Beispiel eines Beweises der Transzendenz des π ohne Zuhilfenahme der AnaIysis ist der Satz von Lindemann-Weierstraß. Es gilt π algebraisch über ℚ <==> ιπ algebraisch über ℚ, wobei ι eine Nullstelle von X²+1 über ℚ ist. Angenommen, π wäre algebraisch über ℚ, dann gäbe es also ein Polynom q ∈ ℚ[X] N-ten Grades mit Nullstellen z⁽¹⁾, z⁽²⁾, …, z⁽ᴺ⁾ ∈ ℂ mit o. B. d. A. z⁽¹⁾=ιπ.

Denkanstoß: es gilt exp(z⁽¹⁾) = exp(ιπ) = -1. Also 0 = ∏(exp(z⁽ᵏ⁾)+1) =: P.

Man untersucht nun Ausdrücke der Form ∏(exp(z⁽ᵏ⁾)+1) unter der Bedingung, dass alle z⁽ᵏ⁾ algebraisch über ℚ sind und paarweise verschieden. … Jetzt wende dich an die Literatur!

Ein noch spezifisches Ergebnis ist der Satz von Lindemann-Hermite, der besagt:

s alg. über  ==> exp(s) nicht alg. über 
für s ∈ \ {0}

Kraft dieses Satzes gilt im Falle π:

          exp(ιπ)=-1 algebraisch über 
==Satz==> ιπ nicht algebraisch über
========> π nicht algebraisch über
(da ι=√-1 algebraisch über )
<=Def.==> π transzendent über .
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Die Frage war aber nur, wie man die Irrationalität von π beweisen kann. Dazu muß man nicht gleich die Transzendenz beweisen.

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Ah, na ja, ist doch viel einfacher und einleuchtend, finde ich.

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Unter http://www.gerdlamprecht.de/Kreiszahl.htm  

findet man 2 Beweise zur Irrationalität:

egal ob nun Integrale, unendliche Summen oder Kettenbrüche.

Interessant auch "6. Bruch-Funktionen, die gegen Pi konvergieren".

Erst bei UNENDLICH (also NIE) stimmt der Bruch mit Pi überein.

Folge: in der Praxis gibt es nur Vielecke (Weltall hat nur 10^80 Atome) aber keinen perfekten Kreis. Kürzeste Strecke siehe Planck Länge ist begrenzt und kann nicht unendlich kurz sein!

Erst bei UNENDLICH (also NIE) stimmt der Bruch mit Pi überein.

Man kann doch gar nicht wissen, ob der Bruch erst bei unendlich mit Pi übereinstimmt. Wie soll man das herausfinden?

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@fsdsdf

Auch das ist im LINK unter §6 zu finden: zu n! gibt es die Stirlingsche Näherungsformel -> und der Grenzwert konvergiert eindeutig gegen Pi

bei x oder n gegen unendlich!

Würde es einen endlichen Wert geben, würde sich eine monoton steigende oder fallende (Bruch-) Folge wieder weiter von Pi entfernen!

Außerdem sind die beiden oberen Beweise ausreichend. Das mit der konvergierenden Bruch-Folge ist nur Zugabe.

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Einen Beweis auf Mittelschul-Niveau gibt es nicht. Wenn man Mathe-Abi hat, hat man die Chance, den Beweis von Niven zu verstehn. - Faktisch werden die meisten mit Mathe-Abi dennoch überfordert sein - obwohl nichts verwendet wird, was nicht auch in der Oberstufe dran war - einfach weil Beweise in der Schule kaum geübt werden.

Der Beweis mit Hilfe des Lindemann-Weierstraß, den hier jemand nannte und der gleich die Transzendenz von Pi liefert, ist zwar hübsch elegant - aber der setzt Kenntnisse voraus, die man definitiv nur an der Uni lernt; da muss man mindestens ein paar Semester Mathe studiert haben. Insofern ist der völlig deplaziert, wenn jemand - wie du jetzt - sagt, dass er noch nicht mal bis zur Integralrechnung gekommen ist.

Hier sind einige Beweise beschrieben. Ohne Integralrechnung scheint keiner davon zu gehen.

https://en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_%CF%80_is_irrational

Ich kapierte es nie und immer noch nicht, warum Leute in Foren Wikipædia-Links überhaupt posten, wenn jeder dasselber alleine machen kann.

Es gab eine Zeit, wenn das Nachschlagen in Wikipædia statt über Literatur als echte Faulheit galt; dies wurde dann allmählich akzeptablen aber der Grad der Faulheit sank noch tiefer, zu dem Zustand, wo man sich nicht einmal die Mühe macht, auch dort oder mit einer Google-suche anzufangen.

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