Besseres Zahlensystem?

6 Antworten

Googolplex kann doch mit Dezimalzahlen als Potenz in eine Zeile geschrieben werden!

Es wird immer Spezialfälle geben, wo eine Rechenart (und es gibt viele Funktionen) für extrem große Zahlen besonders wenig Zeichen benötigt.

So kann man mit der Ackermannfunktion oder der Tetration Zahlen ausdrücken, die sehr viel größer als Dein Spezialfall "Googolplex " ist:

http://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php

(vergl. auch Wikipedia)

Ich arbeite dagegen mit Zahlen (egal ob mit oder ohne Nachkomma), die die 10 TB Grenze überschreiten (über 8 große Festplatten)!

Der Weltrekordler der Pi-Nachkommastellenberechnung fand ein schönes Format, dass besser als jede andere Komprimierung (ZIP, rar, ...) ist und super-schnelles Suchen und Auspacken erlaubt: *.ycd

Dabei werden 19 dezimale Ziffern in eine hexadezimale 64 Bit Zahl gewandelt und abgespeichert. Aus 19 Ziffern werden so 8 Bytes -> also auf weniger als 44%.

Natürlich kann man die Basis immer weiter vergrößern, aber dann braucht man mehr eindeutige Zeichen und Hardware, die das auch unterstützt...

"Natürlich kann man die Basis immer weiter vergrößern, aber dann braucht man mehr eindeutige Zeichen und Hardware, die das auch unterstützt..."

Ja eben. In praktisch jedem heutigen Computer wird jede HEX-Zahl intern ja doch in die sämtlichen in ihr steckenden Bits zerlegt. Einen echten Gewinn an Speicherplatz erreicht man also nicht, wenn man zu einem Zahlensystem mit einer größeren Basis wechselt. Nur für uns Menschen ist es enfacher, uns etwa eine 4-stellige HEX-Zahl wie etwa  A6FC  zu merken anstelle der entsprechenden 16-stelligen Binärzahl  1010011011111100. Dies liegt an unserer eigenen "Hardware" ...  

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@rumar

Anderes Beispiel:

Sonderfall Googolplex ist ja nur deshalb so bekannt, weil diese sich leicht als Potenz schreiben lässt: =10^(10^100)
Dabei hat unser Weltall nur 10^80 Atome!
Man kann nicht die Basis beliebig vergrößern, da dann die Übersetzungstabelle umständlicher und größer wird. Die Zeichen wären nicht mehr unterscheidbar,
selbst chinesische Zeichen (über 2000 Stück) reichen da nicht!

熒熖燈燌爤

Andere Zahl, um das zu verdeutlichen:
eine Zahl soll aus nur der Ziffer 3 bestehen und Googolplex Ziffern haben:
im Dezimalsystem schreibt man einfach:
(10^(10^100)*3-3)/9

Jede andere Basis (außer Sonderfall-Basen, wo sich was kürzt)
wären für diese extrem lange Zahl nicht mehr aufschreibbar, weil wir nicht so viel Papier oder Speicherplatz haben!

An irrationalen Zahlen merkt man es am besten, da es da keine einfachen "Muster" (Potenzschreibweise oder Brüche) gibt. Da hilft nur ycd.

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@hypergerd

anderes Beispiel: viele denken Basis 16 ist immer geeigneter als Basis 10 für große Zahlen:
dabei ist (10^333*3-3)/9 viel kürzer als

188a5e9b88cc9c7bed1849907e9e7d8ef27163a4a1ddb43bca24b8b27e5464bda3defca59bb0d3f45f4f98e68b86a2236ef7b1f12c40233d3cd5376bbbbd286e46356210be8d0d0eefccd58cf5ed3a618d01d879e62de44a0018bfd9f557b11c6355555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555

Eine gerade noch geeignete Basis wäre 62, denn dort sind alle Ziffern, Groß- & Kleinbuchstaben aufgebraucht:

333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333

in Basis 62 ergibt laut FromBase2Base(x,10,62)

http://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php

aPKPKDvdvAiN6ywikKGuOz9cSVpfeZNacXE9UiE4tv

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Nun ja, in der Antike war für den Normalgebrauch M = 1000 schon für die meisten Zwecke ausreichend. Allerdings gab es schon auch noch eine Symbolik, um noch größere Zahlen darzustellen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Römische_Zahlschrift#Gro.C3.9Fe_Zahlen

Nur zum Rechnen ist dieses System furchtbar kompliziert. In einem konsequenten Stellenwertsystem (z.B. mit der Basis zehn) wird dies viel einfacher, weshalb dies sich auch durchgesetzt hat.

Sowas wie "Googolplex" ist nun etwas sehr gesuchtes, das man in Wirklichkeit praktisch nicht braucht. Wenn es darum geht, in mathematischen Zusammenhängen gewisse sehr große Zahlen darzustellen, schafft man dies mit den Mitteln der Mathematik für die interessierenden Fälle schon. Wenn es darum geht, beliebige (also nicht nur relativ wenige ausgesuchte) riesengroße natürliche Zahlen aufzuschreiben, so gibt es dazu eine ganz klare informationstheoretische Grenze: Um alle Zahlen von 1 bis zu einer (riesengroßen) Zahl N auszudrücken, braucht man pro Zahl durchschnittlich lb(N) bits (im Binärsystem) oder log(N) (im Dezimalsystem) Ziffern etc. . Unterhalb dieser Schranke geht es nicht. 

Will man also eine Darstellung mit wenigen Ziffern, so muss der Informationsgehalt der einzelnen Ziffern entsprechend groß sein. Effizient ist ein derartiges "System" dann aber überhaupt nicht mehr.


Man kann in die nächste Systeme eingehen. Hexadezimal wird in der Realität angewendet und hat 16 Zahlenzeichen, bevor der "Zahlensprung" kommt (also im Dezimalen von 9 zu 10, das ja keine "Zahl" mehr ist, sondern eine Summe aus zwei Zahlen)

Warum hat sich das eher unpraktische Dezimalsystem durchgesetzt?

In der Schule hatte ich gelernt, dass das Dezimalsystem auf unsere 10 Finger begründet wurde. Das erschien mir vollkommen logisch, denn so kann man mit 2 Händen bis 10 zählen.

Inzwischen habe ich mich mit der Geschichte unseres Kalenders und der Zeitrechnung beschäftigt und mir dabei das Duodezimalsystem (Zwölfersystem) näher angeschaut. Im Dezimalsystem brauche ich 2 Hände um bis 10 zu zählen. Aber im Duodezimalsystem brauche ich nur eine Hand um bis 12 zu zählen, wenn ich mit dem Zeigedaumen die einzelnen Fingerglieder berühre. Und da ich so eine Hand frei habe, kann ich mit beiden Händen sogar bis 144 zählen. Aber es geht noch weiter. Die 12 lässt sich durch 2, 3, 4 und 6 sauber teilen. Die 10 lässt sich dagegen nur durch 2 und 5 teilen, ansonsten sind es Brüche. Schon wenn man die 10 durch 3 teilt, bekommt man eine unendlich lange digitale Zahl. Die 12 gilt schon seit dem Altertum als magische Zahl, weil es gibt fast 12 lunare Monate im Jahr, daraus ergeben sich 12 Tierkreiszeichen. Im kaufmännischen Bereich hatte sich die 12 schon lange etabliert, weil die Waren so besser geteilt werden konnten. Versucht doch mal eine Torte durch 10 zu teilen! Dass das Duodezimalsystem weit verbreitet war kann man an den eigenen Worten für 12 erkennen z.B. Dutzend und Gros (12∗12). Im Kalender, der Zeiteinteilung und bei den Winkeln hatte sich die 12 ja auch durchgesetzt. Für die 10 gibt es ja praktisch schon ein Zählzeichen und zwar das X, es ist ja auch zufällig das gleiche Zeichen wie im römische Zahlensystem. Und wer meint, man könnte ja das X (10) mit dem Buchstaben x verwechseln, das gibt es doch auch schon heute, wenn man die 0 mit dem O verwechselt. Man bräuchte also nur noch ein neues Zeichen für die Elf. Und auch das Urmeter wäre damals in Paris anders definiert worden. Heute ist 1 Meter der zehn millionste Teil der Strecke vom Pol bis zum Äquator. Das erschien dem Gremium damals als praktische Größe. Im Duodezimalsystem wäre das Urmeter dann wahrscheinlich knapp über 1,60 Meter geworden. Das ist doch noch viel praktischer. Jetzt geht mir der Meter irgendwo bis zum Bauchnabel. Bei 12 würde mir der Meter bis zum Hals, Kinn, Mund oder Nasenspitze gehen, jeder hätte seinen eigenen Meter. 1,60 Meter sind 2 Schritte oder 3 kleine Schritte. Und es wird noch besser. Der 12te Teil von 1,60 Meter ist zufällig so lang wie die Strecke zwischen kleinem Finger und Daumen, und die Faust ist davon wieder etwa die Hälfte.

Wie man also sehen kann ist die 12 der 10 weit überlegen. Warum hat sich dann also das unpraktische Dezimalsystem durchgesetzt?

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Vielen Dank!

Datensatz 1:

a = 4

b = 39,2

c = 500

Ergebnis = 438 (plus minus 5, also zwischen 433 und 443 wäre ok)

Datensatz 2:

a = 4

b = 26,2

c = 500

Ergebnis = 446 (auch wieder plus minus 5)

Datensatz 3:

a = 5

b = 19,2

c = 600

Ergebnis = 528 (auch wieder plus minus 5)

Also ihr seht bereits, je kleiner b ist, desto größer das Ergebnis. Leider kann ich keine mathematische Methode dafür entwicklen.

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