Auslenkwinkel beim Fadenpendel?

...komplette Frage anzeigen

5 Antworten

Leute, verwendet den Energiesatz, statt mit Geschwindigkeiten herumzuhantieren!

Das Ende des Fadenpendels hat eine gewisse Masse m (das Wort »masselos« bezieht sich auf den Faden), die aber keine wesentliche Rolle spielt. Es handelt sich dabei um eine vereinfachende Annahme.

Damit hat das Pendel während der Fahrt (bezogen auf das Koordinatensystem der Straße, Bewegung ist ja immer relativ) eine gewisse kinetische Energie

(1) E = ½mv²

die es auch nach dem Stopp behält.

Beim »Versuch«, die Bewegung fortzusetzen, wird es durch den Faden dazu gezwungen, einen festen Abstand L (ich schreib's mal groß, damit man sehen kann, dass es kein großes »i« ist) zum Drehpunkt zu halten und wird dadurch nach oben gezogen.

Relativ zum Drehpunkt lässt sich die Position also durch

(2.1) |x'› = (L·sin(α); –L·cos(α))

beschreiben, relativ zu seinem Ausgangspunkt also als

(2.2) |x› = |x› + (0; L) = ( L·sin(α); L·[1–cos(α)]),

wobei es die maximale potentielle Energie

(3) m·g·L(1 – cos(α)) = E = ½mv²

erreicht, bevor es zurückpendelt. Die Masse m kürzt sich sofort raus, ich sagte ja schon eingangs, dass sie keine Rolle spielt. Das kannst Du zunächst nach cos(α) auflösen und musst dann nur noch den Arcus Cosinus bilden.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

Schwingungsdauer des Fadenpendels T= 2*pi *Wurzel( l/g)

Weg-Zeit-Funktion y=f(x)= a *sin(w*t) abgeleitet ergibt die Geschwindigkeits-Zeit-Funktion

y´=f´(x)=v(t)= w *a* cos(w*t)

w=2*pi/T= 2*pi /(2*pi * Wurzel(l/g)=1/(Wurzel(12/9,81)=0,875 rad/sekunde

also v= w *a * cos(w *t) mit w*t=0 hier ist v= 1 m/s

1 m/s= 0,875 rad/s * a * cos( 0) ergibt a=1 m/s/ 0,875 rad7s=1,1428 m

Winkel in Bogenmaß Phi= s/l= 1,1428 m/12 m=0,095.. rad

1 °=2*pi/360°=0,017453 rad

also Winkel Alpha (a)=0,095../0,017453=5,44..°

HINWEIS : y=f(x)= a*sin(w*t) gilt,wenn das Bezugssystem (x-y-Koordinatensystem) mit seinen Ursprung im Ruhepunkt des Fadenpendels liegt.
 

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

Alternativer weg: Die Winkelgeschwindigkeit w=√(g/l). Dabei gilt:

s(t)=s(max)×sin(w×t) und (Ableitung)

v(t)=s(max)×w×sin(w×t)

Und wegen: s(max)×w=v(max) gilt dann

s(max)=v(max)/w wobei v immer beim Durchlaufen der "Ruhelage" maximal ist, also gleich 1 m/s in deiner Aufgabe ist.

Die Herleitung von w=√(g/l) erfolgt analog zur Beschreibung in meiner anderen Antwort.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung
Kommentar von tumu36
02.08.2016, 23:55

Danke erstmal! Darf ich fragen wie du auf s(max)=v(max)/w kommst? Teilst du s(t) durch v(t)? Das würde funktionieren, jedoch ist doch die Ableitung vom sin der Cosinus? Dann würde s(t)/v(t)=s(max)=v(max)/w  nicht mehr stimmen..

0
Kommentar von DerServerNerver
07.08.2016, 02:04

Stimmt, ich habe v(t) falsch abgeleitet. Tatsächlich gilt v(t)=s(max)×w×cos(w×t). Der Maximalwert der Ausdrücke sin(w×t) und cos(w×t) ist aber jeweils 1. Demnach ergibt sich der Maximalwert (also s(max) bzw. v(max)) jeweils durch den Vorfaktor, bei v(t) also tatsächlich s(max)×w. Durch umstellen davon kommt man dann auf besagtes s(max)=v(max)/w. Ich hoffe, das war einigermaßen verständlich

0

Du musst das zeichnen und siehst dann, wie sich aus der Zugkraft des Fadens und der Gravitation eine resultierende Kraft in Richtung der Ruheposition ergibt. Diese kannst du dann durch trigonometrische Funktionen ausdrücken. Aus dieser Kraft resultiert eine Beschleunigung, die der ursprünglichen Geschwindigkeit von 1 m/s entgegenwirkt und schlussendlich die Richtung der Schwingung ändert und somit die maximale Auslenkung festlegt.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

Kinetische Energie am Anfang ist gleich der potentiellen Energie am höchsten Punkt.

1/2 * m * v^2 = m * g * h

(m kürzt sich raus)

und h ist trigonometrisch h = 12 - 12 * cos(alpha).

Der Rest ist Umformen nach alpha

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

Was möchtest Du wissen?