Alle gleichschenkligen Dreiecke mit 90 Grad Winkel ähnlich?

Hallo! Ich bräuchte die Antwort um meine Matheaufgaben weiter zu machen, da ich 2 Dreiecke gesehen habe die beide offensichtlich gleichschenklig sind und an der der spitze einen 90 Grad Winkel haben. Danke schon mal...

4 Antworten

mihisu

Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer

Mathematik

23.04.2021, 13:03

Ja, alle gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecke sind ähnlich zueinander.

Dies kann man beispielsweise mit dem S:W:S-Satz begründen:

Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in einem Winkel und im Verhältnis der anliegenden Seiten übereinstimmen.

[https://de.wikipedia.org/wiki/Ähnlichkeitssätze]

Die Bedingungen dieses Ähnlichkeitssatzes sind hier erfüllt, denn...

Die beiden Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks sind gleich lang, sodass das Seitenverhältnis immer 1:1 beträgt.
Der rechte Winkel in einem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck muss immer zwischen den beiden Schenkeln liegen. (Würde der rechte Winkel zwischen einem Schenkel und der Basis liegen, so müsste aufgrund der Symmetrie auch zwischen dem anderen Schenkel und der Basis ein rechter Winkel liegen. Die Innenwinkelsumme in Dreiecken beträgt 180°, was schon mit den beiden rechten Winkeln abgedeckt wäre, so dass nichts mehr für den dritten Winkel übrig bleiben würde. Aufgrund dieses Widerspruchs kann der rechte Winkel also nicht zwischen Schenkel und Basis liegen, sondern muss zwischen Schenkel und Schenkel liegen.)
Die gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecke stimmen demnach im rechten Winkel und dem Verhältnis 1:1 der beiden anliegenden Seiten überein.