Moin,
Kann bitte jemand korrigieren ob ich das richtig ausgerechnet habe?
Hier der Rechenweg:
a) Funktionsgleichung von p1p_1
Gegeben: A(2|3), B(4|-1)
Ansatz: y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c
1. Gleichung mit A:
3=a⋅22+b⋅2+c=4a+2b+c3 = a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + c = 4a + 2b + c
2. Gleichung mit B:
−1=a⋅42+b⋅4+c=16a+4b+c-1 = a \cdot 4^2 + b \cdot 4 + c = 16a + 4b + c
Jetzt subtrahieren:
(16a+4b+c)−(4a+2b+c)=−1−3(16a + 4b + c) - (4a + 2b + c) = -1 - 3
12a+2b=−412a + 2b = -4
→ durch 2: 6a + b = -2 → (I)
Setze in 1. Gleichung ein:
3=4a+2(−2−6a)+c3 = 4a + 2(-2 - 6a) + c
3=4a−4−12a+c3 = 4a - 4 - 12a + c
3=−8a−4+c3 = -8a - 4 + c
→ c = 3 + 8a + 4 = 8a + 7
Nimm z. B. a = -1
Dann: b = -2 - 6(-1) = 4*, c = 8(-1) + 7 = -1*
Lösung:
p1(x)=−x2+4x−1p_1(x) = -x^2 + 4x - 1b) Funktionsgleichung von p2p_2
Scheitelpunkt: S(3|4), nach unten geöffnet
Ansatz: y=a(x−3)2+4y = a(x - 3)^2 + 4
Nimm z. B. a = -1 (weil nach unten)
Lösung:
p2(x)=−(x−3)2+4p_2(x) = -(x - 3)^2 + 4c) Nullstellen von p3(x)=x2+2x−3p_3(x) = x^2 + 2x - 3
pq-Formel:
x2+2x−3=0x^2 + 2x - 3 = 0 → p=2p = 2, q=−3q = -3
x1,2=−22±(22)2−(−3)=−1±1+3=−1±2x_{1,2} = -\frac{2}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^2 - (-3)} = -1 \pm \sqrt{1 + 3} = -1 \pm 2x1=1,x2=−3x_1 = 1,\quad x_2 = -3Lösung:
N1(1∣0),N2(−3∣0)N_1(1|0),\quad N_2(-3|0)d) Schnittpunkte von p3p_3 und p4p_4
p3(x)=x2+2x−3p_3(x) = x^2 + 2x - 3
p4(x)=−x2+2x+5p_4(x) = -x^2 + 2x + 5
Gleichsetzen:
x2+2x−3=−x2+2x+5x^2 + 2x - 3 = -x^2 + 2x + 5x2+x2=8⇒2x2=8⇒x2=4⇒x=±2x^2 + x^2 = 8 \Rightarrow 2x^2 = 8 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = ±2Einsetzen in p3p_3:
x=2:y=4+4−3=5x = 2: y = 4 + 4 - 3 = 5
x=−2:y=4−4−3=−3x = -2: y = 4 - 4 - 3 = -3
Lösung:
Schnittpunkte:(2∣5)und(−2∣−3)Schnittpunkte: (2|5) und (-2|-3)e) Scheitelpunkt von p3p_3
y=x2+2x−3y = x^2 + 2x - 3
In Scheitelpunktform umwandeln:
y=(x+1)2−1−3=(x+1)2−4y = (x + 1)^2 - 1 - 3 = (x + 1)^2 - 4Scheitelpunkt:
S(−1∣−4)S(-1|-4)f) Zeichnung von p3p_3
- Scheitelpunkt: S(-1|-4)
- Nullstellen: x = 1 und x = -3
- y-Achsenabschnitt: x = 0 → y = -3
- Symmetrieachse: x = -1
- Weitere Punkte:
- x = -2 → y = -3
- x = 2 → y = 3
