Seit der Relativitätstheorie gibt es keine absolute Zeit mehr. Es ist bekannt, dass so etwas wie Gleichzeitigkeit nicht mehr eindeutig ist und vom Bezugssystem abhängt. So kann es also sein, dass Beobachter A das Ereignis 1 vor Ereignis 2 wahrnimmt, aber Beobachter B das Ereignis 2 vor Ereignis 1. Es gibt dabei keinen Widerspruch und beide Beobachter haben recht.

Es ist jetzt natürlich ein bisschen die Frage wie man das an die Definition von Zeit anbringen möchte. Dadurch, dass Ereignisse nur Bezugssystemabhängig zeitlich zugeordnet werden können, würde deine Definition damit automatisch auch die Bezugssystemabhängigkeit der Zeit mit einschließen, was natürlich eine schicke Eigenschaft wäre (im Sinne von "meine Zeit ist definiert über t_1 < t_2 und deine Zeit ist definiert über t_2 < t_1"). Man sollte hier wohl aber etwas vorsichtig sein.

Die erste Formel ergibt für mich nicht viel Sinn. Richtig ist, dass die Durchschnittsbeschleunigung gegeben ist durch



hier ist v die Endgeschwindigkeit (!) nach dem Durchlaufen der Beschleunigung während der Zeitspanne t ist. Ebenso richtig ist, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit gegeben ist mit



wobei s die Endposition (!) nach der Bewegung während der Zeitspanne t ist.

Das untere v (Durchschnittsgeschwindigkeit) hat also eine andere physikalische Bedeutung als das obere v (Endgeschwindigkeit). Sie deshalb ineinander einzusetzen ergibt demnach nur wenig Sinn. Wenn du das v aus a=v*t eliminieren möchtest, damit du die Abhängigkeit zur Strecke bekommt müsstest du dir also die Frage stellen, wie die Endgeschwindigkeit mit der Strecke zusammenhängt bei einer beschleunigten Bewegung. Das ist aber genau



jetzt kann man wenn dann noch a=v/t einsetzen und erhält



wobei v jetzt die Endgeschwindigkeit darstellt.

Das ist recht einfach mit der Zentripetalkraft zu beantworten. Das ist die Kraft, die dann Motorrad auf einer Kreisbahn hält. Sie ist proportional zu dem Quadrat der Geschwindigkeit und invers proportional zu dem Kurvenradius. Die Gesamte Formel lautet dann



wobei m die Masse ist.

Das heißt also: die Geschwindigkeit dominiert in diesem Verhältnis. Wenn die Geschwindigkeit doppelt so groß wird, aber der Kurvenradius auch, steigt die Zentripetalkraft dennoch um den Faktor 2.

Da die Größe der Zentripetalkraft angibt, wie viel Haftung zwischen Reifen und Boden bestehen muss, damit das Motorrad nicht weggleitet, ist also der Fall mit höherer Geschwindigkeit und größerem Radius im Allgemeinen gefährlicher.

Das geht mit der Newton'schen Gravitationsformel. Die sagt, dass eine Kraft der Masse m auf eine andere Masse M gegeben ist durch



wobei r der Abstand zwischen den Schwerpunkten beider Massen darstellt und G die Newton'sche Gravitationskonste ist. Sagen wir mal, wir betrachten den Fall einer Masse m unmittelbar über der Oberfläche der Erde (Planet mit Masse M), dann gilt mit der Grundleichung der Mechanik (F=m*a):



wobei r_E der Radius der Erde ist (da wir uns in der Näher der Oberfläche aufhalten) und h die Höhe über der Oberfläche darstellt. Kürzen ergibt



mit den Zahlenwerten (G≈6,674*10^(-11) m^3kg^(-1)s^(-2), M≈5,972*10^(24) kg, r_E≈ 6.378*10^3 m und h=0m) ergibt sich dann



Dass nicht genau 9,81 rauskommt wie man es vermutlich aus der Schule kennt liegt daran, dass insbesondere der Wert für den Radius davon abhängt wo man sich genau befindet und die Erde nunmal keine perfekte Kugel ist. Außerdem gibt es noch Effekte wie Auftrieb oder die Rotation der Erde, aber das wird üblicherweise sowieso vernachlässigt. Das wäre jedoch der idealisierte Rechenweg und, wie du siehst, kommt man sehr nahe an das echte Ergebnis ran.

Weil die Einheit Grad/º oder Umdrehungen keine physikalische Einheit in dem Sinne ist. Beides sind einfach zahlenmäßige Größen, die einer gewissen Semantik zugeordnet wurden. Wenn man irgendwo das Wort "Umdrehungen" zufügt, sagt man damit nur, dass man der Zahl, die man hinschreibt, eine Interpretation gibt - nämlich die, dass sie die Anzahl an vollständig absolvierten Umdrehungen angibt. Dire Rechnung ist aber nicht abhängig von dieser "Einheit". Die tatsächliche Einheit ist weiterhin die einer Zahl.

Beispielsweise wenn man das durchzieht, folgt auch sowas für bspw. die azimutale Geschwindigkeit:



d.h. man hat plötzlich ein Gradmaß in der Einheit der Geschwindigkeit. Dies kann man wohl theoretisch tun, da dies somit angibt, dass es sich um eine Größe handelt, die im Kontext einer Kreisbewegung oder irgendeiner Form von Umdrehung entstanden ist. Aber da Geschwindigkeit auch eine objektiv definierte Größe ist, ist das º optional; es kann auch weggelassen werden und das wird auch immer so gemacht.

Vielleicht auch nochmal ein Beispiel für die Einheit Hertz: Ein Hertz ist ebenfalls 1/s. Damit gemessen werden aber Umdrehungen pro Sekunde, Durchführungen pro Sekunde, Schwingungen pro Sekunde, etc.
Mit gleicher Logik wie oben kann man also auch hier sagen, dass man der oberen Zahl keiner Einheit zuordnen kann, die für alle Anwendungen einwandfrei Sinn ergibt.

Es gibt hier einiges zu beachten...

Bei Photonen braucht man ganz genaue Energiemenge, um Elektronen aus entsprechenden Hüllen anzuregen.

Mal damit angefangen - es gibt keine "exakte" Energiemenge zwischen zwei Energiezuständen von Elektronen. Laut der Quantenmechanik sind Energie und Zeit aneinander u.A. über die heißenberg'sche Unschärferelation gebunden. D.h. die Anregungsenergie von einem niedrigeren in einen höheren Zustand kann leicht schwanken, sofern der Zustand danach nur eine kurze Lebensdauer hat. Daher haben Spektrallinien immer eine gewisse natürliche Breite und sind niemals "unendlich dünn", egal wie gut das Messgerät ist.

Das Photon kann in einem solchen Prozess auch einfach absorbiert werden und damit seine Energie vollständig an das Elektron übergeben. Bei der Kollision zwischen Elektronen geht das nicht so einfach, d.h. das eintreffende Elektron wird danach immer noch irgendwo vorhanden sein. Es ist wie ein elastischer Stoß. Wenn das eintreffende Elektron also "ein bisschen mehr" Energie hat, als das andere Elektron zum Zustandsübergang benötigt, dann behält es einfach gesagt den Überschuss einfach in Form von kinetischer Energie.

Zudem kann natürlich auch in beiden Fällen (Photonen oder Elektronen) eine Form des Photoeffektes auftreten, bei dem ein Elektron die Atomhülle vollständig verlässt. In dem Fall gibt es sowieso keine feste Energiemenge mehr, denn je mehr Energie abgegeben wird, desto schneller wird das weggeschleuderte Elektron, da es jede zusätzliche Energie, die es bekommt, in kinetische Energie übernimmt.

Der Zusammenhang den ihr gemessen habt ist sehr wahrscheinlich im Bereich außerhalb der Spule. Dort ist das Feld in erster Näherung nahezu antiproportional zum Abstand der Zentralachse. Im Innenraum einer Spule gibt es einen prinzipiell anderen Zusammenhang. Im Allgemeinen nimmt die Feldstärke schon auch mit Abstand zum Mittelpunkt ab, aber auf einer anderen Art als außerhalb der Spule. Bei "langen" Zylinderspulen ist das Feld im Inneren ja sogar nahezu homogen.

Auf der Wiki-Seite zu Magnetfeldern von Zylinderspulen steht die exakte Formel für das Magnetfeld. Das rho ist der Abstand von der Mittelachse. Man sieht hier schon in etwa den 1/rho Zusammenhang, aber nicht exakt und auch nicht ausschließlich. Ebenso sieht man, dass das Feld insbesondere auch keiner Gaußverteilung folgt.

Die Kraft an Punkt B ist gegeben als die (vektorielle) Summe aller dort wirkenden Seilkräfte. Die Rolle lenkt Kräfte einfach nur um, ändert also nur deren Richtung. Es gibt also einerseits die Gewichtskraft G, die direkt nach unten zeigt (negative z-Richtung). Die Kraft im Seil zwischen B-C muss natürlich auch G sein, damit das Gewicht gehalten wird. Die Richtung ist dann mit der Zeichnung gegeben als



wobei das N der Normierungsfaktor ist (damit der Richtungsvektor ein Einheitsvektor wird). Dies ist einfach der Betrag des Vektors (ohne G). Dies ist



Also



Das Drehmoment ist definiert über das Kreuzprodukt



r zeigt von dem Bezugspunkt (hier A) auf den Punkt der Kraftwirkung (hier B). Der Vektor von A nach B ist hier



Die wirkende Kraft ist die Gesamtkraft (also die Summe aus der Gewichtskraft und der Kraft zwischen B und C). Damit:



Das Kreuzprodukt ergibt



Also ist das Drehmoment um A:



Das ist genau das, was du angegeben hast, nur habe ich anscheinend eine andere Achsenbelegung gewählt (meine x-Achse geht entlang der grauen Ebene von A nach B, meine y-Achse geht auf der grauen Ebene senkrecht zu x in Richtung von A zu der Person, meine z-Achse zeigt nach oben entlang des Balkens in A). Deren Koordinatensystem ist um 90º entlang der z-Achse gedreht gegenüber meins. Das Ergebnis ist identisch.

Hallo!

Die allgemeine Formel für eine beschleunigte Bewegung, wenn man vom Stillstand aus bei s=0 anfängt, lautet:



Etwas beschleunigt also mit Beschleunigung a über das Zeitintervall t und legt insgesamt s an Strecke zurück.

Bei einer gleichmäßig beschleunigte Bewegung gilt aber für die Beschleunigung auch



Also: Beschleunigung ist die erreichte Geschwindigkeit innerhalb der Zeit t (beide fangen bei 0 an). Die Zeit, welche benötigt wird, um die Geschwindigkeit v zu erreichen ist also gegeben durch die Endgeschwindigkeit geteilt durch die Beschleunigung.

Wenn man jetzt diese Zeit wieder in die allgemeine Formel oben einsetzt, erhält man



Dies ist also die gleiche Formel, aber ausgedrückt durch andere Größen. Diese kannst du verwenden, wenn du die Beschleunigung und die Endgeschwindigkeit kennst. Die erstgenannte Formel ganz oben nutzt du, wenn du die Beschleunigung und das Zeitintervall kennst, über das Beschleunigung wird.

Wenn du die zweite noch nach der Beschleunigung auflöst, erhältst du



Damit würdest du dann also die benötigte Beschleunigung ausrechnen, um die Endgeschwindigkeit v zu erreichen, wenn man dafür die Gesamtstrecke s nutzt.

Die erstgenannte Formel oben kannst du auch nach a umstellen:



was dann die benötigte konstante Beschleunigung berechnet, wenn man die Strecke s innerhalb von der Zeit t mit einer beschleunigten Bewegung zurücklegen möchte.

Das ist eine sehr gute Frage und wird häufig verwechselt. Der Unterschied den du suchst liegt eigentlich schon im Unterschied zwischen Masse und Gewicht. Du hast recht, dass Gewicht mit der Kraft zusammenhängt, mit der man auf seine Unterlage (also im Normalfall den Boden) gedrückt wird. Die Einheit ist damit die Einheit einer Kraft: Das Newton. Dies hängt auch mit dem Begriff der "Schwere" zusammen. Genau das ist es, was eine Waage misst: Sie wiegt das Gewicht oder eben wie schwer etwas ist. Ein Astronaut auf einer Raumstation kann demnach Schwerelos sein. Er hat in dem Moment kein Gewicht und kann deshalb "schweben".

Das Kilo ist jedoch die Einheit einer Masse. Die Masse kann man sehen als die "Menge der Materie". Ein Astronaut in der Raumstation hat also sehr wohl weiterhin eine Masse, nämlich sogar dieselbe wie auf der Erde oder auf dem Mond.

Die Gravitation ist dann nur abhängig von Masse. Je mehr Masse zwei Objekte haben, desto mehr Kraft wirkt zwischen ihnen. Es wird oft Schwerkraft genannt, weil es eben genau die Kraft ist, die unter normalen Bedingungen die Schwere von Objekten erzeugt. Eigentlich ist dies aber eben falsch, weil auch hier ein Astronaut durchaus schwerelos sein kann aber trotzdem eine Schwerkraft erfährt (sonst würde er nicht um die Erde kreisen sondern tangential ins All schießen).

Eine Waage versucht jetzt aber das Gewicht (die Kraft, mit der darauf gedrückt wird) in Kilo, also einer Massenangabe, umzurechnen. Unter normalen Umständen (auf der Erde) kann man das nämlich ineinander überführen. Sobald man aber auf dem Mond, in dem freien Fall oder sogar mit Auftrieb (Heliumballon) versucht die gleiche Waage zu verwenden, ist die Umrechnung falsch und es wird demnach auch eine falsche Masse angezeigt.

Wenn sie Bestandteil der "normalen" Materie wäre, hätten wir das schon längst bemerkt bzw. gäbe es diese Anomalie gar nicht, wofür wir die dunkle Materie brauchen. Die Teilchenphysik geht von dem Standardmodell aus, in dem jede Form von uns bekannter Materie und ihrer Wechselwirkung enthalten ist. Dieses Modell wurde in Teilchenbeschleunigern hochpräzise immer wieder nachgemessen und es zeigt sich bis heute keine Abweichung von der Theorie, die groß genug ist um damit den Effekt der dunklen Materie zu beschreiben, den wir im All beobachten. Genau das ist das Problem. Wir kennen die "normale" Materie eigentlich ziemlich gut und können sie auch sehr gut beschreiben, so dass es mit Experimenten übereinstimmt. Dies erklärt aber eben genau nicht das Verhalten, welches dunkle Materie haben müsste.

Aus diesem Grund geht man davon aus, dass dunkle Materie eine Form der Materie sein muss, die deutlich höhere Energien braucht um erzeugt zu werden - und wir sie deswegen noch nie in Teilchenbeschleunigern beobachten konnten. Das ist dann auch der Grund warum man immer größere Beschleuniger bauen möchte (wie aktuell eben der umstrittene FCC).

Das ist immer etwas ungenau, wenn man das händisch anhand von solchen diskreten Diagrammen ermitteln soll. Allerdings sind in dem Plot ja die Geschwindigkeiten in einem gleichmäßigen Abstand von 0,01s dargestellt. Das kann man sich zu nutze machen zusammen mit der Annahme, dass sich die Geschwindigkeitskurve recht "schön" verhält. Dazu würde ich vorschlagen, die Tangente am Zeitpunkt i über die Verbindung von Punkt i-1 und i+1 zu berechnen, also



Da du nicht weißt was zwischen den Punkten genau passiert, ist das wohl eine erste gute Näherung. Wenn der eine Punkt am Zeitpunkt i nämlich deutlich außerhalb von der Verbindung von i-1 und i+1 liegt, so muss die Kurve ja insgesamt an der Stelle auch "ausbeulen" und hätte etwa in der Mitte die Steigung, die auch die Verbindung von i-1 und i+1 hätte, da es quasi eine rotierte Version ist von sowas:

Die gesuchten Punkte sind durch geometrische Skalierungen meiner Meinung nach etwa:











Mit meiner vorgeschlagen Methode braucht man dann noch den vorangehenden und nachlaufenden Punkt:





Damit wäre die Steigung der Tangente an den ersten Punkten:







und so weiter...

Erstmal geht es um die Frage, wieso elektrische Feldlinien immer senkrecht auf Oberflächern von Leitern stehen. [...] Verstehe ich richtig, dass die Feldlinie quasi der Weg wäre, denn der Elektron eigentlich gegangen wäre?

Du hast es eigentlich schon ganz gut erklärt. Die Feldlinien geben allerdings an, in welche Richtung die Kraft auf ein (positiv geladenes) Teilchen an der Stelle wirkt. Es ist also nicht unbedingt die "Bahn" oder Bewegungsrichtung. Dies ist wegen der Formel



falls du die schonmal gesehen hast. Die Kraft zeigt also in die selbe Richtung wie das E-Feld. Stünde das E-Feld also nicht senkrecht auf einer metallischen oder leitenden Oberfläche, dann würden alle Elektronen dort eine Kraft erfahren, die bevorzugt in irgend eine Richtung tangential zur Oberfläche zeigt. Damit bewegen sich die Elektronen entlang der Oberfläche und das System ist nicht Stabil. Ein Gleichgewicht kann sich also nur dann einstellen, wenn sich kein Elektron mehr bewegt, was entweder passiert, wenn es gar kein E-Feld gibt, oder wenn es genau senkrecht zur Oberfläche steht. Es ist natürlich nicht unmöglich, dass das E-Feld schräg auf einer Oberfläche steht, es ist nur dann kein stabiles System (Elektrodynamik statt Elektrostatik).

Dann wollte ich fragen, was man genau unter einem elektrostatichen Gleichgewicht versteht.

Das ist eigentlich nahezu identisch. Im Allgemeinen kann es eben passieren, dass z.B. in einer metallischen Kugel die Teilchen sich auch im dreidimensionalen bewegen können. Somit gibt es das Gleichgewicht nicht erst, wenn es stabil an der Oberfläche ist, sondern in dem gesamten Volumen der Kugel. Die Elektronen werden sich also solange bewegen, bis es im inneren der Kugel kein effektives E-Feld mehr gibt (ansonsten würden sie sich weiter bewegen). Dieser allgemeine Fall wird dann als elektrostatisches Gleichgewicht bezeichnet.

Ein elektrisches Feld entsteht immer durch Ladung oder? 

Quasi. Es gibt auch noch die Möglichkeit, dass es durch Induktion erzeugt wird, also durch Änderung eines Magnetfeldes. Aber Ladung erzeugt auf jeden Fall immer ein E-Feld, da Ladung auch mathematisch die Quelle (oder Senke) des E-Feldes entspricht (siehe Maxwell Gleichungen).

Angenommen ich habe einen stark positiv und stark negativ geladenen Körper und noch viele weitere schwach geladene Körper, würden diese einzelnen auch E-Felder errichten? und wie berücksichtigt man das?

Dementsprechend würden sie das, ja! Man berücksichtigt alle einzelnen Felder und addiert diese alle in jedem Raumpunkt (Das E-Feld ist ein Vektorfeld, also hat es an jedem Punkt einen Wert und eine Richtung, die man vektoriell aufaddieren kann). Somit entsteht das gesamte E-Feld. Bei komplizierten Ladungsverteilungen nutzt man dann ein Integral, um jeden kleinsten Beitrag der Ladung bei der Konstruktion des E-Feldes zu berücksichtigen.

Wieso beginnen Feldlinien nicht im leeren Raum?

Naja, die Antwort darauf ist eher das Gegenargument: Die Natur funktioniert nun mal nicht so. Das gesamte Wissen der Elektrodynamik ist basiert auf empirische Beobachtungen, also Experimente und Observierungen. Die Frage fragt also eigentlich danach, warum die Natur so funktioniert wie sie es tut. Das ist für mich dann eher Philosophie, weil die Physik sich erstmal nur die Aufgabe gibt, die Vorgänge in der Natur zu beschreiben. Auch hier würde ich wohl am ehesten auf die Maxwell Gleichungen verweisen, weil das dort mathematisch beschrieben wird.

Unter welchen Voraussetzungen können sich negativ geladene Körper anziehen?

Wenn andere Wechselwirkungen stärker sind. Es gibt ja nicht nur die elektromagnetische Wechselwirkung. Wenn du zwei Planeten hast, die jeweils beide insgesamt eine kleine negative Ladung haben, überwiegt trotzdem die Schwerkraft und sie werden sich anziehen. Auf subatomarer Ebene hast du noch die starke Kernkraft, die zwischen den Quarks im Proton/Neutron wirkt. Die erzeugt auch eine anziehende Wirkung zwischen Quarks die beide möglicherweise negativ geladen sind.

Sagen wir mal, das geht. Dann wäre in einer solchen Situation die Implikation "Ich bin mir bewusst, dass ich nicht existiere, also existiere ich auch tatsächlich nicht" möglich.

Dann wäre die äquivalente Kontraposition: "ich existiere tatsächlich, also bin ich mir nicht bewusst darüber, dass ich nicht existiere".

Wenn du also der Meinung bist, dass du gerade existierst, dann würde daraus folgen, dass du die Fähigkeit aus deiner Frage nicht haben kannst. Es "gäbe" also zwei Klassen an Dingen: Die, die existieren und sich deshalb nicht als inexistent sehen können - und die, die nicht existieren und dies auch erkennen.

Wenn wir aber annehmen, dass deine Frage nicht funktioniert, dann wäre die Aussage "Ich bin mir bewusst, dass ich nicht existiere, also existiere ich", was man wohl im Sinne von "Ich denke, also bin ich" interpretieren kann, richtig.

Der äquivalente Umkehrschluss hier wäre "Ich existiere nicht, also bin ich mir nicht bewusst darüber, dass ich nicht existiere". Das würde wohl der schnellen intuition entsprechen: Wenn man nicht existiert, kann man sich gar nicht erst bewusst sein, weil es nichts gibt, was bewusst werden kann. Oder: Ich existiere nicht, deswegen habe ich keine Möglichkeit diesen Umstand zu erkennen.

Beides hört sich eigentlich erstmal recht plausibel an. Der Unterschied liegt in dem Wahrheitsgehalt von "ich bin mir bewusst, dass ich nicht existiere". Die erste Version geht davon aus, dass das etwas, welches diese Aussage äußert, sich über ihren Zustand realistisch aufklären kann, während die zweite Variante das Bewusstwerden an sich schon als Bedingung für Existenz ansieht, egal was die Erkenntnis dahinter ist. Bei all dem Irrtum und subjektiven Einschätzungen, gehe ich bei Menschen eher von der zweiten Variation aus. Aber eine hypothetische Spezies, die immer perfekt einschätzen kann in welchem Rahmen sie gerade "ist", würde wohl auch den ersten Fall erlauben.

Den Gauß'schen Satz und die Maxwell Gleichungen kannst du in diesem Kontext nur Anwenden, wenn du das Verhalten des Feldes entlang der Integrationskontur kennst. In aller Regel aufgrund von Symmetrie, wofür du in beide Richtungen gleichermaßen oder unendlich ausgedehnte Stromleitungen brauchst. Laut Aufgabe soll der Strom aber im Ursprung beginnen und läuft dann bis ins Unendliche in x-Richtung.

Das Differential in der Formel wird folgendermaßen hergeleitet:



Wobei laut Kreuzprodukt theta der Winkel zwischen l und r ist. Wegen der Richtungsdefinition ist das der größere Winkel zwischen der Hypothenuse des Dreiecks und der x-Achse. Durch Trigonometrie sieht man dann





was hier verwendet wurde. Dann setzt man die Beziehung von dl in das gesamte Integral ein:



Wobei hier im letzten Schritt mit y erweitert wurde. Jetzt nutzt man noch einmal cos(alpha)=y/r und bekommt



und nach dem Kürzen der Cosinus Funktionen steht das Ergebnis da was auch in der Lösung steht.

Angenommen, ich fahre in einem Kreis auf einem Motorrad, inwiefern "hält" mich dann diese Reibung im Kreis

Gegenargument: Stelle dir mal vor du versuchst mit dem Motorrad auf einem (nahezu) Reibungsfreien Boden wie z.B. sehr glattem Eis im Kreis zu fahren. Dann rutscht du ja quasi einfach herum und schaffst es nicht auf der Kreisbahn zu bleiben, sondern rutscht radial geradlinig weg. Das ist es genau was die Reibung sonst macht, sie erlaubt es dir dich vom dem Untergrund wegzustoßen, um die Bewegungsrichtung zu ändern.

Jetzt bezogen auf den Aussenstehnden Beobachter: Würde dieser damit argumentieren, dass der Körper nach "außen" beschleunigt wird aufgrund der Trägheit?

Ja, absolut richtig! Das 1. Newton'sche Gesetz sagt, dass Körper sich aufgrund ihrer Trägheit bei sonstiger Abwesenheit einer äußeren Kraft einfach gradlinig und mit konstanter Geschwindigkeit weiterbewegen. Wenn dich also nichts auf einen rotierenden Gegenstand hält, dann passiert genau das: Man bewegt sich geradlinig weiter, statt auf der Kreisbahn zu bleiben. Es braucht keine Kraft, um dies zu erklären. Vielmehr ist es das Gegenteil: Das was oft als Zentrifugalkraft bezeichnet wird ist eben genau das Fehlen einer Zentripetalkraft! Ich würde empfehlen in solchen Kontexten demnach von Zentrifugaleffekten zu sprechen statt einer Zentrifugalkraft.

Die Zentrifugalkraft ist keine Wechselwirkungskraft der Zentripetalkraft, aber diese kompensiert diese auch nicht, oder?

Es ist eben keine Kraft und deswegen ist es auch etwas gefährlich sie bei solchen Überlegungen trotzdem als Kraft zu behandeln. Die Wechselwirkungs- (bzw. Reaktions-)Kraft der Zentripetalkraft ist die Trägheit des beschleunigten Körpers. Wenn du im Karussell sitzt ist die Zentripetalkraft die, die dich von außen nach innen drückt, sodass du auf der Kreisbahn bleibst. Die Reaktionskraft ist die, die du von innen auf das Karussell nach außen ausübst, weil dein Körper sich lieber geradeaus statt kreisförmig bewegen möchte und deswegen dieser Bewegung Widerstand leistet.

Die Formel ist recht allgemein tatsächlich, sofern man die Größen richtig einsetzt. Das was du mit v(0) und s(0) bezeichnet hast sind die Anfangsgeschwindigkeit und Anfangsstrecke, die du zu begin deiner Messung hast. Beschleunigst du also nicht, sondern fährst einfach nur mit konstanter Geschwindigkeit, dann ist a=0 und die Formel wird zu



Soweit so gut. Wenn du jetzt irgend eine Zeitlang konstant fährst (z.B. sagen wir mal t1 lange), dann ist deine Strecke danach s(t1) mit obiger Formel. Wenn du danach beschleunigst, brauchst du wieder die allgemeine Formel, allerdings mit angepasstem zurückgelegtem Weg:



Wenn du aber direkt von der Anfangsgeschwindigkeit v(0) aus beschleunigst, wirst du die Strecke



zurücklegen. Dies ist nicht das selbe, da du im ersten Fall noch die Zeit t1 hast, mit der du vorher konstant gefahren bist.

Wenn du aber von 0m aus dem Stillstand beschleunigst, legst du



zurück, da es jetzt keine Anfangsgeschwindigkeit oder -strecke gibt. Wenn du nach der Zeit t1 dann konstant mit v(0) weiterfährst, ergibt sich die Formel



also wieder etwas anderes. Ich hoffe die Logik ist aus diesen Beispielen etwas klarer geworden. Du musst dir immer gut Gedanken darüber machen was bei jedem Schritt (Beschleunigen, Stillstehen, mit konstanter Geschwindigkeit Fahren, etc.) gerade gilt und wie die zurückgelegten Strecken miteinander zusammenhängen).

Das ist immer sehr verwirrend bei solchen Aufgaben. Ich finde es immer sehr intuitiv, sich zuerst ausführlich zu überlegen was eigentlich von wem wie beschleunigt wird. Die Person (oder der Gegenstand) im Fahrstuhl erfährt die Gewichtskraft FG. Wenn sich der Aufzug nicht bewegt oder beschleunigt, dann beschleunigt sich die Person auch nicht, da der Aufzug dann die komplette Gewichtskraft FG kompensiert. Es gilt also



Es gilt insbesondere hieraus



als effektive Kraft, die der Aufzug auf die Person ausübt.

Wenn die Person jetzt aber beschleunigt, verschwindet die 0 in der Gleichung. Der Aufzug erfährt dann ja auch die selbe Beschleunigung, da er die Person trägt und ständig Kontakt hat (außer im freien Fall, aber das ist ein Grenzfall der hier trotzdem funktioniert). Ersetzen wir es mal mit einem allgemeinen a:



Jetzt folgt als Kraft vom Aufzug auf die Person:



Das ist also der allgemeinere Fall. Man beobachtet auch hier den freien Fall (wobei a=g) gilt, wofür dann F_Aufzug=0 wird.

Kommt drauf an was du berücksichtigen möchtest. Wenn du z.B. Reibung vernachlässigst, dann kann man das durch simple Energieerhaltung beantworten, wobei die Neigung des Berges tatsächlich egal ist. Am Anfang hat der Körper irgend eine potentielle Energie, aufgrund seiner Höhe. Am Ende ist er unten angekommen, hat also keine Höhenenergie mehr, dafür aber Bewegungsenergie. Da du explizit von "rollen" redest, muss man hier aber noch die Rotationsenergie berücksichtigen. Damit wird alles zu



Das Theta ist das Trägheitsmoment des Körpers, welches angibt wie leicht er sich drehen lässt und Omega ist die Winkelgeschwindigkeit, mit der er sich dreht. Bei einer Rollbewegung gilt aber immer



(zumindest für rotationssymmetrische Körper, aber sonst ist rollen sowieso schwierig), weshalb dann insgesamt gilt:



und damit für die Endgeschwindigkeit:



Dies gilt für jede beliebige Höhe (d.h. auch zu jedem Abstand von der Bergspitze). Wie du siehst ist erstmal eine Abhängigkeit zur Masse da. Das genaue verhalten wird aber vom Trägheitsmoment vorgegeben. Tatsächlich sind für die meisten simplen Geometrischen die Trägheitsmomente aber immer einfach proportional zur Masse, was bedeutet, dass sich die Masse aus obiger Gleichung rauskürzt. Wenn also z.B. ein Zylinder von einem Berg rollt (ohne Reibung und so), dann ist es komplett egal wie viel Masse er hat: Er wird immer gleich schnell unten ankommen, sofern seine Größe und Form gleich bleibt. Bleibt die Masse gleich aber erhöht man das Trägheitsmoment, so folgt aus obiger Gleichung, dass der Körper im Allgemeinen langsamer rollen wird.

Für den Fall mit Reibung oder mit komplexen Geometrien bzw. mit komplexen Massenverteilungen im Körper (wie bei einem Menschen), hat man im Allgemeinen aber sehr wohl eine Abhängigkeit der Masse. Die Reibung ist nämlich meist nur von Form und Geschwindigkeit abhängig, was bedeutet dass alle Körper unabhängig von ihrer Masse die selbe Reibung erfahren. Körper mit größerer Masse haben nach Abzug der Reibung aber weiterhin also mehr beschleunigende Kraft als die leichteren Massen, weshalb sie trotzdem länger beschleunigt werden, bevor sie ihre maximale Geschwindigkeit erreichen (das ist genauso im freien Fall). Also hier würde wohl grob gelten: Je schwerer die Masse, desto schneller kommt der Körper unten an (bei gleichem Trägheitsmoment).

Du weißt, dass bei einer Sinus (und Cosinus) Funktion die beiden Extrema immer eine halbe Periode voneinander entfernt sind. Damit ist das Argument bei dem Funktionswert +a immer eine halbe Periode von dem ersten Argument bei -a entfernt usw. weil sie denselben Abstand zu den jeweiligen Extrema haben. Bei einem Sinus mit positivem Vorzeichen kannst du also einfach eine halbe Periode zu deinem gefundenen t für +8V hinzuaddieren. (siehe die Antwort von @evtldocha)

Eine Alternative Möglichkeit, damit du deine Rechnung nicht verwerfen musst, ist, um die zeitliche Differenz von deinem gefundenen Wert (also der zweite Zeitpunkt für -8V) zu dem Minimum der Funktion zu berechnen. Beim Sinus ist das Minimum ja einfach bei 3*pi/2, in deinem Fall also bei 3*pi/(2*w). Da der Sinus um ein Extremum herum symmetrisch ist, befindet sich der andere Zeitpunkt für -8V also genau auf der anderen Seite des Extremums mit der selben Differenz wie dein anderer Wert.