Wie rechne ich das Drehmoment um A aus?

Hallo!

Ich sitze hierran jetzt erneut schon eine Weile und ich verstehe diese Aufgabe nicht.

Das Ergebnis habe ich schon aus den Lösungen, aber es wird kein Lösungsansatz gezeigt. Kann mir vielleicht jemand erklären, wie man auf die Lösung kommen soll?

Das Ergebnis ist anscheinend M (um A) = (-16/3aG, -1aG, 2/3aG), jeweils in der Reinfolge x, y, z.

Ich bedanke mich bereits im Voraus!

Answer 1

[DrNumerus]

Die Kraft an Punkt B ist gegeben als die (vektorielle) Summe aller dort wirkenden Seilkräfte. Die Rolle lenkt Kräfte einfach nur um, ändert also nur deren Richtung. Es gibt also einerseits die Gewichtskraft G, die direkt nach unten zeigt (negative z-Richtung). Die Kraft im Seil zwischen B-C muss natürlich auch G sein, damit das Gewicht gehalten wird. Die Richtung ist dann mit der Zeichnung gegeben als

$F_{BC}=G\cdot\left(2a,\ a,\ -2a\right)\cdot\frac{1}{N}$

wobei das N der Normierungsfaktor ist (damit der Richtungsvektor ein Einheitsvektor wird). Dies ist einfach der Betrag des Vektors (ohne G). Dies ist

$N=\left|\left(2a,\ a,\ -2a\right)\right|=\sqrt{9a^2}=3a$

Also

$F_{BC}=\frac{G}{3}\cdot\left(2,\ 1,\ -2\right)$

Das Drehmoment ist definiert über das Kreuzprodukt

$\vec{M}=\vec{r}\times\vec{F}$

r zeigt von dem Bezugspunkt (hier A) auf den Punkt der Kraftwirkung (hier B). Der Vektor von A nach B ist hier

$\vec{r}_{AB}=\left(2a,\ 0,\ 3a\right)$

Die wirkende Kraft ist die Gesamtkraft (also die Summe aus der Gewichtskraft und der Kraft zwischen B und C). Damit:

$\vec{M}=\vec{r}_{AB}\times\left(\vec{F}_{BC}-G\cdot\vec{e}_z\right)=\frac{G}{3}\cdot a\cdot\left(2,\ 0,\ 3\right)\times\left(2,\ 1,\ -5\right)$

Das Kreuzprodukt ergibt

$\left(2,\ 0,\ 3\right)\times\left(2,\ 1,\ -5\right)=\left(0-3,\ 6+10,\ 2-0\right)=\left(-3,\ 16,\ 2\right)$

Also ist das Drehmoment um A:

$\vec{M}=G\cdot a\cdot\left(-1,\ \frac{16}{3},\ \frac{2}{3}\right)$

Das ist genau das, was du angegeben hast, nur habe ich anscheinend eine andere Achsenbelegung gewählt (meine x-Achse geht entlang der grauen Ebene von A nach B, meine y-Achse geht auf der grauen Ebene senkrecht zu x in Richtung von A zu der Person, meine z-Achse zeigt nach oben entlang des Balkens in A). Deren Koordinatensystem ist um 90º entlang der z-Achse gedreht gegenüber meins. Das Ergebnis ist identisch.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Physik Studium - Master in theoretischer Physik

Comments

[Scythela]

Wow! Vielen Dank für die Schnelle und verständliche Antwort!!