YouTube streamer zeigt private Nachrichten?

Es kann sein, aber es muss nicht sein, dass eine solche öffentliche Zugänglichmachung deiner Nachricht eine Verletzung deines "Persönlichkeitsrechts" darstellt.

In dieser Quelle heißt es auch: Je persönlicher die Nachricht ist, desto eher kriegt man vor Gericht recht. Allerdings muss dein Persönlichkeitsrecht abgewogen werden gegen das Recht des Anderen, seine Meinung frei zu äußern und Tatsachen zu behaupten, soweit dies nicht strafbar ist, schreibt Artikel 5 Grundgesetz.

Gegen eine mutmaßliche Verletzung deines Persönlichkeitsrechts kannst du klagen oder eine Abmahnung verschicken und eine Unterlassung der Tat verlangen sowie Schadensersatz.

Im Eilfall ist eine Eilklage üblich, also ein Antrag auf eine einstweilige Verfügung. Zitat aus dieser Quelle (und dort bitte weiterlesen!):

Die einstweilige Verfügung ermöglicht Sofortrechtsschutz. Der Betroffene kann bei Gericht unter Umständen sogar binnen eines Tages eines Verfügung erwirken, mit der dem Gegner das rechtswidrige Tun unter Strafandrohung untersagt wird. Die einstweilige Verfügung ist also der “Eilrechtsschutz” zur Durchsetzung des Unterlassungsanspruches (näheres zum Unterlassungsanspruch finden Sie hier in meinem Fachbeitrag zum Unterlassungsanspruch).

Gruß aus Berlin, Gerd