Während Ausbildung den Betrieb wechseln?

Klar  kannst du dich bei anderen Betrieben bewerben. Und wenn dich dein jetziger Betrieb "überwacht", dann bewirb dich von zuhause aus über deine privaten Geräte. Wenn du ihren PC für Bewerbungen verwendest, besteht natürlich die Möglichkeit, dass man dir kündigt, falls sie es raus bekommen. Aber du solltest dir darüber im Klaren sein, dass es auch in anderen Betrieben vielleicht nicht anders zu geht. Der Azubi ist sehr oft die Putzfrau vom Dienst und muss "niedere" Aufgaben erfüllen. Lehrjahre sind keine Herrenjahre (blabla - du kennst den Spruch sicher :-) ) Und es kommt auch in anderen Betrieben nicht gut, wenn man kündigt, nur weil man sich ungerecht behandelt fühlt. Du hast wohl nur noch ein Jahr.....versuch doch, das eine Jahr durchzuziehen und such dir DANN einen anderen Job, woanders. Ich würde nur kündigen, wenn es wirklich (wirklich!) gar nicht mehr anders geht! So lernst du nämlich, dich in der Berufswelt durchzusetzen! Ich wünsch dir viel Glück.

Normalerweise werden Bewerbungen vertraulich behandelt. Und es ist nicht verboten, sich nach etwas, das einem mehr zusagt, umzuschauen. Wenn es allerdings rauskommt, kann es sein, dass man dir nahelegt, dorthin zu wechseln oder den Druck durch Kontrolle noch erhöht.

Die andere Frage ist, welche Ursachen das Mobbing, die übermäßige Kontrolle derzeit haben, und ob man es nicht ändern kann, z.B. Wechsel in eine andere Abteilung.

Du solltest Dich damit an die IHK wenden, die können in solchen Fällen nicht nur sehr viel helfen, ich meine sogar sie müssen sowieso über einen Wechsel des Betriebs informiert werden oder gar einverstanden sein.
Das solltest Du unbedingt in Erfahrung bringen.
Die IHK ist das wirklich Ansprechpartner Nummer 1.

Auch solltest Du alles in Deinem Berichtsheft festhalten, undzwar genau das, was gemacht wurde. Dazu zählen insbesondere Aufaben, die nicht in Deinen Berufsbereich passen wie Putzen, Kaffee kochen und so weiter.
Durchdas Berichtsheft hat die IHK einen genauen Nachweis darüber, was Du im Betrieb zu tun hast.
Das kommt Dir nicht zu schaden, wie man vielleicht denken mag, sondern hilft bei einem Wechsel des Betriebs und auch dabei einem betrieb die Ausbilderlizenz zu entziehen, wenn es zu schlimm wird.

Der Wunsch nach einen Betriebswechsel oder das Bewerben ist kein Kündigungsgrund für den Ausbildungsbetrieb. Das dürfen sie also nicht, arbeitslos wirst Du dadurch nicht.

Ja, du kannst deine Lehre in einem anderen Betrieb fortsetzen.

Aber du solltest dich auch fragen, warum es zu Anfang alles so toll war und jetzt nicht mehr. Es wird einen Grund geben, wenn du plötzlich kontrolliert wirst. Kommst du oft zu spät? Machst du viele Fehler? Das wird dann im nächsten Betrieb auch nicht viel besser. Und in der Lehre macht man auch viel langweiliges Zeugs und auch mal was, was einen nicht unbedingt weiter bringt. Das ist normal.

Bitte wende dich an deine örtliche IHK. Da wird man dir helfen einen möglichst bebenfreien Übergang zu ermöglichen.

In der Ausbildung wird man nun mal vom Ausbilder kontrolliert. Das mit den Anmeldedaten solltest du auch der IHK mitteilen. Das ist ein Verstoß gegen die Datenschutzbestimmungen.