Zeitdilatation Aufgabe?

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3 Antworten

Ohne nachgerechnet zu haben halte ich das Ergebnis erst mal  für plausibel.

Die Zeit t, die von der hier als bewegt geltenden Uhr gemessen wird, muss nämlich kürzer sein als die von der hier als ruhend geltenden Uhr gemessene Zeit t₀*). Natürlich widerspricht das der Formel

(1.1) t = t₀/√{1 – (v/c)²} =: γt₀,

aber die ›bewegte‹ Uhr geht ja langsamer als die ›ruhende‹, also muss es

(1.2) t₀ = t/√{1 – (v/c)²} =: γt

heißen, wobei ich die Formulierung

(1.3)  Δt = Δt'/√{1 – (v/c)²} =: γΔt'

vorziehen würde (es geht um Zeitspannen, nicht um Zeitpunkte). Die Formulierung…

 …wie viel Zeit bei einer Uhr vergeht, die sich relativ zu einer stillstehenden Uhr mit der Hälfte der Lichtgeschwindigkeit bewegt, und zwar in dem Zeitraum, in der bei der stillstehenden Uhr genau eine Stunde vergeht.

…(Hervorhebung von mir) deutet jedenfalls an, dass der Gang der ›mitbewegten‹ Uhr gemeint ist, also ein Vorgang im ›bewegten‹ Koordinatensystem.

Allgemein betrachtet ist es falsch, einfach etwas mit dem Lorentz-Faktor γ zu multiplizieren oder dadurch zu dividieren. Zeit wird nämlich nicht einfach gestaucht oder gestreckt, sondern projiziert, nämlich auf die Zeitachse des jeweils anderen. Was für den Einen nämlich einfach nur die Zeit ist, das ist für den Anderen eine Kombination aus Zeit und der zurückgelegten Strecke:

(2.1) Δt' = γ(Δt – v·Δx/c²)

Das nennt man eine Lorentz-Transformation, in diesem Fall der Zeit. Die Bewegungsrichtung x ist mit

(2.2) Δx' = γ(Δx – v·Δt)

der Galilei-Transformation der altklassischen Mechanik sehr ähnlich (da fehlt nur γ). Die Rücktransformationen sind

(2.3) Δt = γ(Δt' + v·Δx'/c²)
(2.4) Δx = γ(Δx' + v·Δt').

Wenn es bei Δt' um die von einer mit K' mitbewegten Uhr angezeigte Zeitspanne geht, ist in (2.3) Δx'=0, sodass sich das auf (1.3) reduziert. Hingegen ist das Δx in (2.2) von 0 verschieden, nämlich Δx = vΔt, und dadurch wird (2.1) zu

(3) Δt' = γΔt(1 – v²/c²) = γΔt/γ² = Δt/γ,

Die Uhr zeigt also eine kürzere Zeit an als die Zeitspanne in K dauert. Speziell für v/c = ½ ist

(4) 1/γ = √{1 – ¼} = √{3/4} ≈ 0,866,

und Nachrechung mit dem eingebauten TR liefert Dein Ergebnis.

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*) In Chromium-ähnlichen Browsern schreib: t₀, dann mit STRG+C rauskopieren und mit STRG+U+V Inhalte einfügen. In der App braucht man es nur zu schreiben, es wird umgewandelt. Leider hat man dabei keine jederzeitige Kontrolle über das Ergebnis, man muss von Anfang an wissen, was man tut.

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E1312085 05.09.2016, 17:12

Vielen Dank :)

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Die Formel ist t' = t / wurzel(1 - v²/c²)

Für v = 1/2 c ist das: t'=t /wurzel(1- 0,5²)

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Kann es sein, dass du mit der Wurzel mutlipliziert hast statt durch sie zu dividieren?

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E1312085 04.09.2016, 09:50

Nein, ich habe durch sie dividiert. Vielleicht habe ich t und t0 vertauscht....

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PhotonX 04.09.2016, 09:59
@E1312085

Das könnte auch sein. Die Formel ist tau=t/gamma, wobei tau die Eigenzeit, also die Uhr, die im gleichen System ist, wie der Beobachter (stillstehende Uhr); t ist die Koordinatenzeit, also die Zeit, die der ruhende Beobachter auf einem bewegten Objekt misst (bewegte Uhr). Dann ist also t=gamma*tau=tau/wurzel(1-v^2
/c^2).

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