Zahlensysteme, binär und dezimal hochzählen?
Moin, ich verstehe nicht wie sich die binärzahlen bilden wenn man dezimal hochzählt wie auf dem bild von 0 bis 15. Kann das jemand einfach und an einem Beispiel erklären? Danke
5 Antworten
Im Dezimalsystem hast du die Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zur Verfügung. Wenn du beim Hochzählen die Ziffer 9 um 1 erhöhen müsstest, so steht keine neue Ziffer zur Verfügung. Stattdessen wird die Ziffer wieder auf 0 gesetzt und dafür die Ziffer an der nächsthöheren Stelle um 1 erhöht.
Wenn man beispielsweise im Dezimalsystem die Zahl 9 um 1 erhöht, wird die Ziffer 9 zur 0 und dafür wird die (versteckte) 0 an der nächsthöheren Stelle um 1 erhöht, was dort eine 1 entstehen lässt. Nach 9 kommt im Dezimalsystem also 10. Genauso wird aus 19 dann 20, wenn die 9 hinten zur 0 wird und dafür die 1 an der nächsthöheren Stelle zur 2 wird.
Die ersten Zahlen sind dann...
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, ...
Wenn man bei 99 um 1 erhöht, so wird die hintere 9 auf 0 zurückgesetzt und dafür die 9 an der Stelle davor um 1 erhöht. Dafür wird auch diese 9 auf 0 zurückgesetzt und dafür die (versteckte) 0 an der Stelle davor zu einer 1. Nach 99 kommt also 100.
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Im Binärsystem geht das im Grunde genauso, nur dass man da eben nur 2 Ziffern (0 und 1) zur Verfügung hat.
Wenn man 0 um 1 erhöht, erhält man 1.
Wenn man nun jedoch die 1 um 1 erhöhen möchte, hat man keine neue Ziffer zur Verfügung (im Binärsystem gibt es keine Ziffer „2“). Man muss also die Ziffer 1 wieder zur 0 zurücksetzen. Dafür wird die (versteckte) 0 an der nächsthöheren Stelle auf 1 erhöht. Aus 1 ergibt sich so als nächstes 10.
Beim Erhöhen von 10 um 1 kann man einfach wieder die hintere Ziffer 0 zu 1 erhöhen und erhält 11.
Beim Erhöhen von 11 um 1 muss man (mangels einer Ziffer „2“) die hintere 1 zu 0 zurücksetzen. Dafür wird die Ziffer 1 an der nächsthöheren Stelle um 1 erhöht. Aber... Huch!? Da hat man ja wieder das gleiche Problem. Also wird auch dort die Ziffer 1 zur 0 zurückgesetzt, und dafür die (versteckte) 0 an der wiederum nächsthöheren Stelle zu 1 erhöht. Man erhält also 100.
Bei 100 kann man zu 101 erhöhen.
Bei 101 wird die hintere Ziffer zu 0 zurückgesetzt und dafür die 0 an der Stelle davor zu 1, sodass man 110 erhält.
Bei 110 kann man hinten um 1 erhöhen, um 111 zu erhalten.
Bei 111 wird muss man die hinterste Stelle zu 0 zurücksetzen. Dafür wird die 2-te Stelle von rechts um 1 erhöht, wofür man diese auch auf 0 zurücksetzen muss und die 3-te Stelle von rechts um 1 erhöhen muss, wofür man diese auch auf 0 zurücksetzen muss und dafür vorne an 4-ter Stelle von rechts eine 1 entsteht. Also erhält man dann 1000.
Und so weiter...
1
10
11
100
101
110
111
1000
1001
1010
1011
[...]
Es funktioniert exakt genauso wie im Dezimalsystem, nur mit weniger Ziffern.
Im Dezimalsystem fangen wir mit 0 an und zählen erst bis 9. Weil es keine höhere Ziffer als 9 gibt, erhöhen wir stattdessen die Ziffer davor (09 -> 10). Das funktioniert bis zur 99, da dann beide Ziffern den maximalen Wert erreicht haben. Also brauchen wir dann eine dritte Ziffer (099 -> 100).
Im Binärsystem ist es genauso, nur dass hier die 1 die höchste Ziffer ist.
Wir fangen wieder mit 0 an und zählen bis 1. Die 2 gibt es nicht, also müssen wir die Ziffer davor erhöhen (01 -> 10). Dann können wir bis 11 zählen. Danach haben beide Zifferen den maximalen Wert erreicht, also brauchen wir eine weitere Ziffer (011 -> 100). Und so weiter.
Beispiel:
Der höchste Wert, der sich mit drei binären Ziffern darstellen lässt, ist 111, was 4+2+1=7 in dezimal ist. Willst du 111 um 1 erhöhen, brauchst du eine Binärziffer mehr und hast dann 1000, was 2^3=8 ist.
Wenn 1 addiert wird, wird aus 0 1 sowie aus 1 0. Beim letzeren gibt es dann Übertrag.
Stell dir vor, du hast eine Liste mit 1 2 4 8 16 32 usw, nur verkehrt, also ... 32 16 8 4 2 1
nun musst du z.B. die Zahl 4 im Binärcode bilden. Da wir die 4 als eine Potenzzahl der 2 oben haben schreibst du quasi auf 100, das bedeutet: du hast 0x die 1, 0x die 2 und 1x die 4, was insgesamt 4 ergibt. Dein Binärcode ist also immer nur so lange, wie du ihn wirklich brauchst um die entsprechende Zahl darzustellen. Für eine 3 wäre es in Binär z.B. 11, denn du brauchst 1x die 1 und 1x die 2 um in Summe die 3 zu erhalten. Es wird hier immer von rechts nach links gelesen. Für etwas höheres, wie eine 25 schreibst du: 11001, denn du brauchst 1x die 1, 0x die 2, 0x die 4, 1x die 8 und 1x die 16 um in Summe auf 24 zu kommen. Ich hoffe die Beispiele sind verständlich erklärt.
Die höchste Zahl in deiner Tabelle ist die 15. Code steht da, der ist 1111, ganz einfach deshalb: du brauchst 1x die 1, 1x die 2, 1x die 4 und 1x die 8 um in Summe auf 15 zu kommen. Denk aber daran von rechts nach links zu arbeiten, das heißt im Binärcode 1111 steht die rechte 1 tatsächlich für die Dezimalzahl 1 und die linke 1 für die Dezimalzahl 8.
Hochzählen bis zur größtmöglichen Ziffer - 9 im Dezimalsystem, 1 im binären -, und der nächste Inkrement erzeugt einen Übertrag zur nächst höheren Stelle, welche dann wieder bei 0 beginnt.