x+e^x=0 Wie nach x auflösen?
Hallo, ich bräuchte mal eure Hilfe, weil ich bei einer Aufgabe in Mathe nicht weiter komme. Ich soll eine Gleichung aus Summen von x und e^x nach x auflösen. Beispiel.: x+e^x=0
4 Antworten
x+e^x=0
x=-e^x
1=-(1/x) * e^x | Kehrwert
1/1=-x * e^x |Umkehrfunktion von x * e^x ist LambertW
x = -LambertW(1)
siehe http://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php
x = -0.5671432904097838729999686622103555...
(falls Du mehr Stellen brauchst -> kann über 10000
berechnen )
Diese Konstante A030178 ist schon viele Jahre bekannt!
Zugabe für die "unteren Klassenstufen": Newton-Iteration
http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm
Beispiel 4 folgende Änderungen:
Fx: (x+exp(x))/(exp(x)+1)
Start bei: a=-0.5;
Ergebnis b=-0.5671432904097838 stimmt!
Bei Kehrwert fehlt natürlich das kleine Minus:
1/1=(-x) * e^(-x) |Umkehrfunktion ...
geht nicht und hat auch keine Lösung.
Sicher? Die Funktion ist ja jedenfalls stetig und überall definiert. Wenn ich den Wert -1 einsetzen, bekomme ich einen negativen Funktionswert. Für x = 0 ist der Wert positiv. Nach dem Zwischenwertsatz müsste es doch dann eine Nullstelle geben, die zwischen -1 und 0 liegt.
Da die Ableitung stets positiv ist, gibt es auch nur diese eine Nullstelle. Vielleicht würde ich ein Näherungsverfahren nutzen...
stimmt! klar gibt es ne Lösung zwischen -1 und 0
denn y= -x und y=e^x haben einen Schnittpunkt;
e Funktuionen löst man meist mit einem dekadischen Logarithmus auf. In diesem Fall gibt es jedoch keine Lösung. Ansatz: x+e^x=0 <=>e^x=-x <=>ln(e^x)=ln(-x)
Die Logarithmus Funktion hat die einschränkenden Bedingungen x>0 also ist die Gleichung (im relativen Bereich) nicht lösbar.
Mhm? Wer sagt denn, dass -x eine negative Zahl ist? Wenn zum Beispiel x = -1 gilt, dann ist -x = -(-1) = 1, also positiv. Somit könnte ich ln(-x) tatsächlich bilden.
Sowas kann man scheinbar hier mit lösen : http://de.wikipedia.org/wiki/Lambert-W-Funktion , ihr sollt das aber vermutlich nicht machen, mein Mathelehrer hat gesagt, solche Gleichungen kann man nur Geometrisch lösen.
LK-Lehrer, die Lambert Funktion gehört vermutlich nicht zum Schulstoff.
Lösung 3 aus Summen-Näherung: e^x = 1+x+x²/2+x³/6+x^4/24... 0=x+1+x+x²/2+x³/6+x^4/24=1+2x+x²/2+x³/6+x^4/24
per http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php
x2=-0.56742...
stimmen schon 3 Nachkommastellen
bei x^5 kommt x1=-0.56711603... stimmen 3 NK
bei x^6 kommt x1=-0.56714552... stimmen 5 NK ...