Logarithmische gleichung trotz summe nach x auflösen?

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fjf100
Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer
Mathematik, Gleichungen
10.09.2020, 17:14

2^(2*x)-2^(x+1)-3=0

Potenzgesetz a^(r)*a^(s)=a^(r+s)

2^(2*x)=2^(x+x)=2^(x)*2^(x)

2^(x+1)=2^(x)*2¹

2^(x)*2^(x)-2^(x)*2-3=0 Substitution (ersetzen) z=2^(x)

0=z²-2*z-3 ist eine Parabel der Form 0=x²+p*x+q Nullstellen mit der p-q-Formel

x1,2=-p/2+/-Wurzel((p/2)²-q)

Lösung mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio) z1=3 und z2=-1

z1=3=2^(x) logarithmiert

ln(3)=ln(2^x)=x*ln(2) Logarithmengesetz log(a^(x))=x*log(a)

x=ln(3)/ln(2)=1,5849..

z2=-1=2^(x) logarithmiert

ln(-1)=x*ln(2) → keine Lösung,weil ln(-1) nicht definiert ln(x) mit x>0

Hinweis:Kannst auch den Logarithmus mit der Basis 10 nehmen

x=log(3)/log(2)=1,5849..
Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – hab Maschinenbau an einer Fachhochschule studiert
Destranix
10.09.2020, 15:24

Beide Seiten 2 hoch(2^a mit a = Gleichungsseite) nehmen.(Allerdings den erlaubten Definitionsbereich beachten. x²+x+6 > 0!!)

Dann Mitternachtsformel anwenden.
bert00712
10.09.2020, 15:44
  • 2^(2x) - 2^(x+1) -3 =( 2^x - 1)^2 -1 -3 = 0
  • ( 2^x - 1)^2 = 4

1. Fall:

  • 2^x - 1= 2
  • 2^x = 3
  • x = ln 3 => Lösung

"Zweiter" Fall:

  • 2^x - 1= -2
  • 2^x = -1, nicht möglich

Für eine kompaktere Schreibweise kann man auch erst mit y = 2^x substituieren.

ecke0 
Fragesteller
 10.09.2020, 16:40

Die lösung ist aber der logarithmus zur basis 2 von 3. Beim Umstellen hast du dich vertan da die zwei gleichungen nicht mehr äquivalent sind.

Trotzdem Danke!

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