Wozu berechnet man die Inverse Matrix?
Ich habe die Rechnung wie man das macht grob verstanden, aber ich frage mich wozu man dies braucht noch scheint mir das ganze noch relativ überflüssig.
4 Antworten
Wenn Du mit einem Algorithmus zur Berechnung der Inversen vertraut bist, dann kennst Du vermutlich auch die definierende Eigenschaft, naemlich dass A * A^-1 = 1, wobei "1" fuer die Einheitsmatrix stehen soll.
Lineare Gleichungssysteme (LGS) kommen in vielen Anwendungen vor, z.B. wurde hier eine erlaeutert: https://www.gutefrage.net/frage/referat-ueber-medizin-in-mathe#answer-269841592
Man kann ein LGS in Matrixform A * x = b schreiben, wobei meistens der Fall fuer quadratische Matrizen A interessant ist, in dem man genausoviele Gleichungen wie Unbekannte hat. x und b sind dabei (Spalten-)Vektoren, b ist gegeben und x ist gesucht. Ist Dir das soweit bekannt?
Wenn man die Loesung x nur fuer ein einziges b bestimmen moechte, lohnt sich die Berechnung der inversen Matrix nicht. Um die Inverse einer n×n-Matrix zu bestimmen, musst Du ja quasi n Gleichungssysteme loesen (fuer jede Spalte der Einheitsmatrix als b einmal).
Will man aber Loesungen fuer sehr viele verschiedene b bestimmen (dafuer waere die oben zitierte Anwendung auch praedestiniert), so kann es sich vom Rechenaufwand her lohnen, einmal die Inverse von A auszurechnen. Dann gilt naemlich x = A^-1 * b und man kann zu jedem b nach einer einzigen Matrix-Vektor-Multiplikation die Loesung x berechnen.
Hier hat sich noch eine recht nette Anwendung inverser Matrizen ergeben: https://www.gutefrage.net/frage/regression-von-nichtlinearen-funktionen
Eine Division (in den reellen Zahlen) ist nichts anderes als eine Multiplikation mit der inversen Zahl.
Beispiel: statt durch 5 zu teilen, kann man ebenso mit 1/5 multiplizieren.
Eine Division durch eine Matrix ist allerdings nicht erklärt. Also multipliziert man mit ihrer Inversen, um eine Gleichung aufzulösen/umzuformen.
Nehmen wir mal an, du hast eine Zahl Z (ungleich 0) und eine Unbekannte X, und einen Zusammenhang der Form
Y = ZX, also ein völlig simples Produkt. So, wie groß ist X? Das auszurechnen ist keine Schwierigkeit für jemanden, der "Division" beherrscht - für jeden anderen schon.
Und obiges gilt eben für Zahlen - sobald Felder und Vektoren (als Verallgemeinerung) ins Spiel kommen, braucht man eben auch eine Verallgemeinerung für die Division - und genau hierfür ist diese Invertierung gedacht.
Weil man "durch Matrizen nicht teilen kann".