Worin liegt der Unterschied zwischen Weihe, Weihung, Einweihung?

Eine Weihe oder Weihung ist im eigentlichen Sinne eine Übergabe eines Objektes (z. B. Kirchenweihe, Glockenweihe, Altarweihe) oder einer Person (Priesterweihe, Ordensweihe, Bischofsweihe) an Gott bzw. eine Gottheit. Die Weihe wird in der Regel durch ein feierliches Ritual vollzogen. Das Objekt bzw. die Person ist dem profanen Bereich entzogen und dem sakralen Bereich zugeordnet.

Hier das Beispiel einer Altarweihe (ab. Min. 6):

https://youtube.com/watch?v=TQWfPjySdek

Und hier das Beispiel einer Bischofsweihe (langer Gottesdienst, das Entscheidende ab 1:04):

https://youtube.com/watch?v=zILvx6JdC98

Ein Gegenstand (z. B. ein Altar) wird normalerweise unmittelbar nach der Weihe in Gebrauch genommen.

Im übertragenen Sinne nennt man deshalb das erstmalige In-Gebrauch-Nehmen auch einer profanen Sache als Einweihen. Das kann in einem feierlichen Akt geschehen, z. B. die Fahneweihe eines Vereines oder eben so salopp, wie ohwehohach es für die Badewanne genannt hat.

Ebenfalls im übertragenen Sinne verwendet man den Begriff "weihen" auch, wenn die Hinwendung an ein nichtreligiöses Ziel gemeint ist: "Er hat sein ganzes Leben der Musik / seinen Kindern / dem Kampf um Menschenrechte geweiht."

Wenn ein Mensch in eine sakrale oder esoterische Gemeinschaft (z. B. Freimaurer) aufgenommen, also dort in einem Übergangsritus "eingeweiht" wird, wird ihm auch das evtl. geheime Wissen der Gemeinschaft anvertraut. Daher kommt die Redewendung "jemanden in die Geheimnisse einweihen", ihm also etwas mitteilen, was nur ein ausgewählter Kreis weiß.

Der Begriff "Jugendweihe" ist eigentlich widersinnig. Wem oder was werden die Jugendlichen eigentlich geweiht? In welche Gemeinschaft treten sie ein? Welches Geheimwissen wird ihnen anvertraut?

Weihe ist eine religiöse oder anderweitig festliche Zeremonie: https://www.dwds.de/wb/Weihe

Das Wort "Weihung" ist das Substantiv zu weihen. https://www.dwds.de/wb/weihen

Eine Einweihung hat aber keinen religiösen oder rituellen Kontext. Hier geht es einfach um die Tatsache, dass eine Sache erstmalig ihrer Bestimmung übergeben wird (z.B. Die neue Bibliothek wird eingeweiht oder "Wir weihen heute unsere neue Badewanne ein").

https://www.dwds.de/wb/Einweihung

eine Weihe, eine Handlung durch die etwas einem bestimmten Sinn zugeteilt wird, im religiösen Sinn wandelt sich dadurch etwas

z.Bsp. also eine Kirche wird vom Gebäude durch eine Weihe zur Kirche odder ein weltlicher Mensch wird durch eine Weihe zu einem kirchlichen Mensch (bei Priestern z.Bsp.)

eine Weihung ist, wenn etwas eine anderen Sache geweiht wurde

z.Bsp. Kriegdenkmal werden den Gefallenen im Krieg geweiht um Andenken (eine weltliche Handlung)

Einweihung, wenn etwas eingeweiht wird, kann religiös sein (der der Einweihung eines Wohnhauses) dann bekommt der Gegenstand einen Segen oder weltlich, eine Turnhalle wird eingeweiht (das ist manchmal mit Segen, meistens ohne)