Woher weiß mein Taschenrechner was Pi ist?
Ich meine nicht meinen speziellen Taschenrechner sondern allgemein.
10 Antworten
Ältere Geräte führen eine Annäherung durch oder haben die Zahl auf so viel Stellen fest einprogrammiert wie das Display hat. Vergleicht man mehrere alte Rechner miteinander fällt auf, dass sich die hinteren Nachkommastellen unterscheiden. Viele alte Taschenrechner rechnen einfach 22/7, damit brauchen die nur wenig Speicher um sich pi zu merken.
Seit Ende der 80er ist Speicher aber kein Problem mehr und die meisten Taschenrechner arbeiten intern mit mehr Stellen als sie anzeigen um Rundungsfehler zu verhindern. Die haben dann 10 oder mehr Stellen von Pi einfach fest als Zahl eingebaut.
Moderne wissenschaftliche Taschenrechner sind keine "fest verdrahteten Rechenwerke" mehr, das sind kleine Computer (Mikrocontroller) und die können schneller und genauer rechnen. Dauert ein ArcTan auf einem Taschenrechner von 1977 noch bis zu 12 Sekunden und weicht nach der 3. Nachkommastelle deutlich von der Realität ab, rechnen das moderne Taschenrechner in 100 Millisekunden aus und das bis auf die 20. Nachkommastelle genau! Und hier kann man heutzutage "Megabyte" Lange Zahlenkollonnen fest vorprogrammieren. Viele können ja auch alle wichtigen Naturwissenschaftlichen Konstanten und nicht nur Pi.
Es wird ein Algorithmus für Pi hinterlegt. bereits Archimedes etwa 200 BC fand durch die Berechnung mit einem 96 Eck den Algorithmus pi = 3 1/7
Den verbesserte der deutsche Kardinal und Philosoph Nikolaus von Kues (Cusanus), der auch der Arbeitsgruppe zur Kalenderreform des Papst Gregor V. angehörte. Er erzählte auch dem Papst Gregor V. auch vom heliozentrischen Sonnensystem, lange vor Kopernikus und Galileo Galilei.
Dann kam noch der Friedrich Gauß bereits als 14jähriger mit einer genialen Idee, sein Algorithmus verwendet der HP 41, den ich seit 40 Jahren besitze. Auch die TI-Taschenrechner haben ihn im System.
Heute rechnen große Computer mit dem BBP Algorithmus (Barley-Borwein-Plouffe)
Der HP 41 ist einer der ungenauesten Rechner die ich kenne! Bei sin(22) stimmen gerade mal 10 Nachkommastellen.
Entweder sind seine Näherungsformeln so schlecht, oder die Algorithmen sind schlecht umgesetzt (zu früh abgebrochen oder zu wenig Stellen bei den Zwischenergebnissen).
Die Kreiszahl Pi ist die Konstante A000796 und unter
http://www.gerdlamprecht.de/Kreiszahl.htm
findet man über 100 Berechnungsmöglichkeiten (Algorithmen)
Da die asin Funktion schon bei (fast) jedem Taschenrechner enthalten ist, braucht er z.B. nur asin(1) * 2 rechnen. (nicht ° sondern SI Einheit Rad)
Wie gesagt gibt es über 100 weitere Möglichkeiten wie
asin(1/2) * 6 = atan(1) * 4 = acos(0) * 2 ...
ABER: die Billig-Rechner rechnen nur mit Näherungsformeln und bekommen oft nicht mal 10 richtige Stellen hin !!!!!
(Wikipedia hat mal sin(22) mit über 30 Rechnern durchgerechnet: beim TI-25 waren gerade mal 4 Stellen richtig -> restliche Stellen waren falsch!)
Die FPU/CPU in PCs und Handys haben sogar einen eigenen ASM-Befehl für Pi:
FLDPi ,d.h. in etwa 15 Takten sind 80 Bit im Register der FPU -> aber Compiler wie die von Microsoft schneiden selbst beim Typ long double die letzten weg (nur noch double) und es bleiben etwa 15 Nachkommastellen.
Gute Rechner rechnen mindestens mit 30 Nachkommastellen und im komplexen Zahlenbereich.
Du kannst auch 226517876251716162692149071050771828410490449602080890536575346 / 72102879408277751642507260419334203501590758230297414247167791
rechnen und hast 86 richtige Stellen -> aber selbst das hat noch nichts mit der echten Konstante Pi zu tun!
Rekord ist eine Konstante, die mit Pi etwa 18000 richtige Nachkommastellen gemeinsam hat (aber nicht Pi ist)!
Also ich bin grade in der 11ten Klasse und würde die Frage gern meiner Klasse so beantworten sodass sie jeder versteht.
Es gibt Methoden zu einer annähernden Berechnung von PI. Eine einigermaßen leicht verständliche findest du hier:
http://www.logisch-gedacht.de/pi-berechnen/kreis/
Eine solche könnte als Programm im Taschenrechner laufen. Es wird aber eher einfach eine feste Konstante einprogrammiert, da sich Pi ja nicht ändert, der Zugriff schneller ist und mehr Platz für andere Programme bleibt.
Weil der Näherungswert eingespeichert ist, pi kann allerdings auch berechnet werden.
Welchen genauen Algorithmus beim Drücken der Taste "Pi" angewendet wird, weiß nur der Hersteller selbst! Das beweisen schon die unterschiedliche Anzahl der angezeigten und richtigen Ziffern. Da heute ein enormer Preisdruck auf die Herstellung eines Chips lastet, wird zu 90% ein fest hinterlegter Wert im Chip selbst (Hardware) abgelegt. Auf alle Fälle aber bei Rechnern ohne asin oder ohne atan Funktion.
Neuere Rechner haben auch noch andere Konstanten wie e und auch physikalische Konstanten fest hinterlegt (ROM Speicher).