Wofür brauche ich differenzierte Gleichungen?
Hallo Leute, ich brauche eure Hilfe!
Was ist der Sinn des totalen Differenzierens in der Thermodynamik? In meinem Lehrbuch sehe ich mehrere Stellen, wo es differenziert wird, obwohl das gefühlt nichts bringt. Ich habe doch die ursprünglichen Gleichungen, ohne Differenziale - sie gelten auch, oder?
Integrieren - das ist ein tolles Ding, das lässt mich die Fläche unter der Kurve super genau berechnen. Aber Differenzieren… was nutzt mir die ungefähre Neigung einer Kurve?
Als Beispiel,
ich will Volumenänderung berechnen. Und wenn ich das für mein Buch gewöhnliche Differenzial verwende, komme ich (von V=nRT/p) auf
dV= -nRT/p^2 dp + nR/p dT.
angeblich könnte ich damit die Volumenänderung berechnen, aber das könnte ich auch gut (und zwar genauer, oder?) so rechnen:
deltaV= nRT2/p2 — nRT1/p1
was ist also der Vorteil vom totalen Differenzial?
4 Antworten
Differenzen bilden nur für lineare Funktionen die Änderung richtig ab. Erst die Differenzialrechnung ermöglicht es die Veränderung in einem Punkt exakt zu definieren und zu berechnen.
Das totale Differenzieren bietet eine präzise Methode, um kleine Änderungen zu berechnen und die Abhängigkeiten zwischen verschiedenen Variablen zu verstehen.
Wenn den festen Zustand von zwei Punkten bzw. Zuständen kennst, reicht DeltaV.
Wenn du die Änderungsrate von V abhängig von T und p benötigst und/oder schrittweise Änderungen betrachten willst, müsstest du so viele DeltaVs berechnen, wie die Auflösung der jeweiligen Änderungsraten sein sollen. De facto machst du das über dV.
Es ist im Prinzip wie das Integral einer Funktion bzw. eine Kurve. Willst du die Fläche grob berechnen, reicht erst mal "Länge mal Breite". Willst du es etwas genauer haben, kannst du die Fläche in etwas kleinere Pakete an "Längen und Breiten" aufteilen. Willst du aber die Fläche präzise haben, musst du infinitesimale "Längen und Breiten" errechnen.
Danke für die Antwort, aber ich verstehe es trotzdem nicht. Was, das du mit quasi "unendlich kleinen Säulen unter der Kurve" meinst, ist das, was Integral macht. Oder? Oder mache ich zuerst Differenzieren und erst danach Integrieren? Kann man das ganze Verfahren auch am Beispiel einer x²-Funktion sehen, oder da funktioniert es nicht?
was ist also der Vorteil vom totalen Differenzial?
Nur damit ist eine exakte und allgemein gültige Herleitung möglich.
In der Praxis nimmt man gerne mal einen konstanten Verlauf einiger Größen an. Dann kann man in der Tat auch mit Differenzen rechnen, was die Sache vereinfacht, andererseits aber nur Näherungslösungen bringt.
In deinem Beispiel nimmt man z.B. an, dass sich ein Gas ideal verhält. Aber auch das ist schon ein Modell, das nur eine Näherung darstellt, denn die Voraussetzung, dass keine Kräfte zwischen den Gasteilchen wirken, ist nun mal nur eine Annahme bzw. eine Vernachlässigung der wahren Verhältnisse.
Nein, das Gegenteil ist der Fall. Allerdings ist der Unterschied zwischen der genauen Berechnung über die Integration der Differentiale und deiner einfachen Rechnung über Differenziale ums geringer, je geringer die Differenz ist. Würdest du z.B. einen Unterschied der Zustände zwischen T = 100 K und T = 2000 K über Differenzen berechnen, wäre der Fehler ziemlich groß.
„Integration der Differenziale“ würde mir die ursprüngliche Gleichung als Ergebnis bringen, oder?
Und was spricht gegen die Verwendung der Zustandsgleichung als Formel für die Berechnung von Volumenänderung? Da wäre mein Ergebnis nicht ziemlich, sondern absolut genau (abgesehen von der Ungenauigkeit des Modells)
„Integration der Differenziale“ würde mir die ursprüngliche Gleichung als Ergebnis bringen, oder?
Nein, weil es keine Ursprungsgleichung in dem Sinne gibt. Die Ursprungsgleichung ist die Differentialgleichung.
Und was spricht gegen die Verwendung der Zustandsgleichung als Formel für die Berechnung von Volumenänderung? Da wäre mein Ergebnis nicht ziemlich, sondern absolut genau
Nein, wäre es nicht. Das fängt zum Beispiel mit der Wärmekapazität an, die in der Vereinfachung als konstant angenommen wird, was sie aber nicht ist.
Danke für die Antwort,
in meinem Beispiel ist eine einfache (Zustand 2 minus Zustand 1) Berechnung immer noch genauer, als wenn ich die Werte in eine differenzierte Gleichung einsetze. Oder?