Winkelgeschwindigkeit Sinusfunktion

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Zunächst eine kleine Verständnishilfe: Betrachte einen Einheitskreis im x-y-Koordinatensystem der Mathematik. Also den Kreis mit Mitte (0,0) und Radius 1.

Die Funktion sin(Drehwinkel) gibt zu jeder Lage (einer Drehbewegung) auf diesem Kreis an, wie weit weg man von der x-Achse gerade ist, und zwar mit Vorzeichen - kurz gesagt:

sin(Winkel) = y-Koordinate.

Das führt bei einer regelmässigen Drehung zu der bekannten Plus/Minus-sin-Schwingung zwischen +1 und -1.

Wenn also der Winkel a regelmässig mit der Zeit t anwächst (auch bei vielen Umdrehungen), kann man das mit dem Mass "Winkelgeschwindigkeit" ausdrücken

ω = a / t.

Entsprechend ist der Winkel zur Zeit t einfach a(t) = ω t.

Schreibe daher in Deiner Formel sin(a) = sin(ωt) = f(t), und Du hast die y-Koordinate der gleichförmigen Kreisbewegung zum Zeitpunkt t. Die Winkelgeschwindigkeit misst dabei, wie schnell diese Rotation ist, genau: wieviel Winkelzunahme pro Zeit.

Bemerkung: Wenn der Winkel als Bogenlänge auf dem Einheitskreis gemessen wird (was in der Mathematik und in technischen Anwendungen üblich ist), eintspricht einer Umdrehung gerade der Winkel 2π . Ist die Umdrehzeit T (Dauer der Periode, eine Hin- und Herschwingung) , so gibt sich als Winkelgeschwindigkeit das Verhältnis ω = 2π / T .

Der Sinus an sich (also die Funktion sin(x)) ist 2π periodisch, daher der Verlauf der Funktion wiederholt sich alle 2π. Die Funktion f(x) = sin(ωx) ist jetzt 2π/ω periodisch, d.h. sie wiederholt sich alle 2π/ω.

ich vergleiche das omega jetzt mal mit einem faktor a. hier(a=5)

bsp: f(X)= sin(5x) und g(x)= sin (x)

f(x) hat deutlich kürzere Perioden, der graph wird gestaucht. dementsprechend bedeutet dies für f(x) : Je größer omega, desto größer wird auch die frequenz( auch zu sehen an der gleichung: omega= 2pi*f ) ,konkret für den graphen heisst das, dass mehr amplituden, also der maximal bzw. minimalwert auftreten.

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