Wieso entspricht der Sinus eines sehr kleinen Winkels dem Winkel selbst (Stichwort kleinwinkelnäherung)?
Bin grade zufällig auf das Thema gestoßen und finde keine Erklärung dafür
5 Antworten
Wenn du den Sinus als Welle zeichnest (grüne Kurve rechts), steigt er anfangs fast linear. Auf der x-Achse hast du den Winkel eingetragen, auf der y-Achse den Sinus des Winkels.
Bei kleinen Winkeln, einem Winkel, der gegen Null geht, geht die Länge der Gegenkathete gegen Null und damit auch der Quotient aus Gegenkathete zu Hypothenuse, dem Sinus.
Was die Ursache dafür ist, lässt sich nicht so leicht sagen, denn es kommt darauf an, wie du z.B. Sinus definierst. Der erste Aspekt wäre also: "Das ist so". Du kannst es dir mit der - für die Schule üblichen - Definition anschauen, dass der Sinus von einem Winkel in im rechtwinkeligen Dreieck dem Quotient aus Gegenkathete durch Hypotenuse beschreibt. Du siehst, dass für kleine Winkel die Abweichung klein bleibt.
Weiter herleiten, beziehungsweise zeigen lässt sich der Fakt auch aus der Reihenentwicklung des Sinus, Stichwort Taylorreihe. Taylorreihen sind ein Verfahren, um beliebige Funktionen in einem kleinen Gebiet mit Hilfe von Polynomen anzunähern. Für die maximale Abweichung gibt es eine Formel. Es zeigt sich, dass beim Sinus für kleine Winkel (im Bogenmaß) das Ergebnis sin(x) = x herauskommt und der maximale Fehler x^3/6 ist. (Keine Garantie darauf, dass das letzte ganz richtig ist, ist schon zu lange her...)
Vielen Dank, dann schaue ich mir das mit der Sinus Reihenentwicklung mal genauer an :)
Das gilt natürlich nur bei der Winkelangabe im "rad"-Maß.
Und da der Sinus bei kleinen Winkeln eine Steigung von 45° hat, ist der Wert von Sinus und Winkel für kleine Winkel gleich.
Das ist wegen der abgebrochenen Taylorreihenentwicklung so.
Brichst du die Taylorreihe der Sinusfunktion nach der 1-ten Ordnung ab, dann erhältst du den Winkel selbst.
Und für sehr kleine Winkel fallen halt die höheren Ordnungen (Potenzen) nicht so stark ins Gewicht.