wie zeigt man , dass f konstant ist?
ich habe die Aufgabe
ich dachte mir zuerst , dass eine Fallunterscheidung sinnvolle wäre für |a|>1 und |a|<1. Das Problem ist , dass ich nicht weiterkomme. Wenn ich |a|>1 habe , so bin ich näher an die null aber ich kann nicht wirklich was daraus folgern.
2 Antworten
Falls |a| > 1 ist:
Für eine beliebige reelle Zahl x betrachte die Folge:
(x, x/a, x/a², x/a³, ...)
Wohin konvergiert die? Was wissen wir damit über die Folge
(f(x), f(x/a), f(x/a²), f(x/a³), ...)?
Kleine Hilfestellung (falls es nicht gleich „klick“ macht):
- Die Folge f(x/aⁿ) hat zwei schöne Eigenschaften: Eine folgt aus f(x)=f(x/a), die andere aus der Stetigkeit von f.
Für 0<|a|<1 nimmt man a':=1/a. a=0 muss man gesondert untersuchen.
f(x)=f(ax) ist möglich, wenn a=1 oder a=-1 ist. Da dies aber gemäß Aufgabenstellung ausgeschlossen wurde, gibt es nur noch die Möglichkeit, wenn f(x)=f(ax)=c und c eine Konstante(relle Zahl) ist.
f(x)=f(ax) |-f(x)
f(ax)-f(x)=0
Gemäß dem Fundamentalsatz der Algebra hat eine Funktion n-ten Grades immer n Lösungen. Alle Lösungen für a, die von a=1 abweichen und die die Variable x enthalten, sind keine konstante Lösung für f sondern variable Funktionen.
Beispiel:
f(x)=x^3+px+q
f(ax)=a^3x^3+apx+q
f(ax)-f(x)=0
a1=1
a2=(sqrt(-3x^2-4p)-x)/2x
a3=-(sqrt*-3x^2-4p)+x)/2x
f ist für a2 und a3 nicht konstant.
Wenn du a in Abhängigkeit von x ausdrücken musst (wie du es bei a2 und a3 getan hast), wird aber eher nicht
f(ax) = f(x)
für alle reellen Zahlen x gelten, wie es in der Aufgabe vorausgesetzt ist.
Doch.
f(a1x)=f(1x)=f(x)=x^3+px+q
f(a2x)=f(x(sqrt-3x^2-4p)-x)/2x)=x^3+px+q=f(x)
f(a3x)=f(-xsqrt(-3x^3-4p)+x)/2x)=x^3+px+q=f(x)
Für alle 3 a(a1,a2,a3) gilt also:
f(ax)=f(x)
Und dies für alle reellen x.
In dem Moment, in dem du für a einen Term einsetzt, der von x abhängt, ist a keine reelle Zahl mehr, sondern eine reelle Funktion. Der Ausdruck würde dann eher lauten:
f(a2(x) * x) = f(x).
Aber in der Aufgabenstellung war explizit nur eine reelle Zahl a vorgegeben.
f(x)=f(-x) ist aber nur bei symetrischen Funktionen möglich.
Setzt man in f(x) mit mindestens einem Glied, das die Variable x enthält, x=ax und ist a ungleich 1, dann ist f(ax) ungleich f(x).
Beispiel: f(x)=mx+b
f(ax)=max+b
f(ax)-f(x)=mx(a-1)=0
Für a=1 träfe dies zu, wurde aber gemäß Aufgabenstellung ausgeschlossen.
Genau das muss bewiesen werden. Es gibt viele Funktionen, die f(x)=f(ax) erfüllen. Insbesondere kannst du bei a≠0 den Wert für f(0) frei wählen.