Wie viele Rechtecke gleicher Größe passen in einen Kreis? Formel/Excel?

 - (Mathe, Mathematik, Excel)

6 Antworten

Vom Fragesteller als hilfreich ausgezeichnet

Gegeben: Kreisradius: r, Rechteck: b×h.

Ich schreibe [x] für den ganzzahlig abgerundeten Wert (also x-1 < [x] ≤ x). In Excel heißt das vermutlich floor(x), in die eingestellte Sprache übersetzt.

Es gibt s = [r/b] Spalten. Am rechten Rand von von Spalte x ist der Kreis y(x) = √(r²-(xb)²) hoch. Also passen dort z(x) = [ y(x)/h ] Rechtecke übereinander.

Der Viertelkreis enthält damit Σₓ₌₁..ₛ z(x) Rechtecke. Es wäre schon ohne das Abrunden schwierig, diese Summe geschlossen darzustellen. Also bleibt Dir vermutlich nichts anderes übrig, als ausreichend viele Hilfszellen für z() bereitzustellen und diese dann zu summieren.

Achte aber darauf, dass der Radikant negativ wird, wenn x aus dem Kreis heraus läuft. Also etwa so:

floor( sqrt( max(0, r*r-sqr(x*b)) ) / h )

r, b, h sind dabei feste Zellverweise, x=1, 2, 3, ... die laufende Nummer.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung

Hallo ralphdieter,

bin gerade dabei das so auszuprobieren, jedoch bin ich mir nicht ganz sicher, ob ich alles so richtig verstanden habe.

"Der Viertelkreis enthält damit Σₓ₌₁..ₛ z(x) Rechtecke."

Wird mir hier ein Symbol nicht angezeigt oder soll das ₛ einfach nur für "Rechteck" stehen? Generell finde ich diese Formel verwirrend mit den Punkten etc..

Könntest du diesen Punkt und den Vorschlag mit den Hilfszellen vielleicht genauer erklären?

Vielen Dank!

1
@jAn18
Wird mir hier ein Symbol nicht angezeigt

Sorry, manchmal werden Sonderzeichen nicht richtig dargestellt. Gemeint war:

Summe von x=1 bis s z(x)

also ausführlich: z(1) + z(2) + ... + z(s)

Schreibe also die obige floor-Formel z.B. in die Zellen Z1 bis Z100. Dann kannst Du in der Ergebniszelle SUM(Z1:Z100) eintragen.

1
@ralphdieter

Vielen Dank, es hat nun endlich funktioniert!

1

Tolles Problem!

Ich denke auch, dass man das am besten mit einer VBA Funktion löst, der die Parameter r, a und b übergeben werden.

Sollen denn auch Lösungen berücksichtigt werden, dass die Rechtecke in X und/oder Y Richtung auf den Mittelachsen des Kreises liegen? Es könnte ja beispielsweise die günstigste Lösung sein, ein Rechteck genau auf den Mittelpunkt zu legen.

Ich bin unsicher, ob man das rechnerisch im Voraus bestimmen kann, oder ob man vier Szenarien rechnen und dann das Maximum auswählen muss. Voller Viertelkreis, halb auf der Längsachse des Rechtecks, halb auf der Querachse des Rechtecks oder genau in der Mitte.

Gruß

Hannes

Und übrigens: Schönes Alternativprogramm zur Fußball WM.

Das Eckige muss ins Runde :-)

2

Ist die Frage noch aktuell? Ich denke, ich habe eine Lösung mit VBA, die die Anzahl der Rechtecke bzw. deren Anordnung zurückgibt.

0

Die Größe der Rechtecke hat dabei ausschlaggebende Bedeutung. Je kleiner die Rechtecke, desto mehr passen in den Kreis und desto besser wird die gesamte Kreisfläche von den Rechtecken überdeckt. Dabei handelt es sich um ein numerisches Näherungsverfahren (geht auf C.F. Gauß zurück), welches in ähnlicher Form bei der Landesvermessung verwendet wird.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung

Was möchtest Du wissen?