Wie viele Nullstellen hat eine ganzrationale Funktion 5. Grades?
Stimmt es, dass die nur 3 oder 5 Nullstellen haben kann?
Warum kann sie maximal fünf Nullstellen haben?
4 Antworten
Polynome 5. Grades haben immer mindestens eine reelle Nullstelle und können maximal 5 verschiedene reelle Nullstellen haben.
Beispiele:
Polynom mit nur einer Nullstelle:
x^5
Zwei:
(x+1)*(x+2)^4
Drei:
(x+1)(x+2)(x+3)^3
Vier:
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)^2
Fünf:
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)
Ein Polynom vom Grad 5 hat exakt 5 Nullstellen. Diese Nullstellen müssen keine reellen Nullstellen sein, können aber.
Ein Polynom vom Grad 5 hat exakt 5 Nullstellen
Dass dieser Satz falsch ist, da es Polynome 5. Grades gibt mit exakt einer Nullstelle
Mit der richtigen Vielfachheit gezählt, ist die Anzahl der Nullstellen insgesamt gleich dem Grad des Polynoms. Du redest von verschiedenen Nullstellen. Da muss es nicht exakt 5 geben.
Dann musst es auch so hinschreiben dass die Summe der Vielfachheiten gleich dem Grad ist, eine Doppelte Nullstelle zählt immer noch als eine nullstelle.
Sie muss mindestens eine haben, maximal 5.
Noch vergessen: https://www.onlinemathe.de/forum/Kurvendiskussion-einer-ganzrationalen-Funktion-5-Grades
Eine ganzrationale Funktion n-ten Grades hat maximal n Nullstellen. Das muss man sich halt merken. Den Beweis überlassen wir Mathematikern.
Weil du ein Polynom 5. Grades in maximal 5 Linearfaktoren zerlegen kannst. (Linearfaktoren sind Faktoren der Form (x-a) wobei a dann eine Nullstelle ist). Hättest du mehr Nullstellen, würdest somit die Funktion mit mehr Linearfaktoren schreiben können. Jedoch bekommst du, wenn du n Linearfaktoren ausmultiplizierst, ein Polynom n. Grades. Somit können es maximal 5 Linearfaktoren sein (und somit maximal 5 Nullstellen)
Nein, die kann 1-5 Nullstellen haben
x^5 hat genau eine Nullstelle die eine fünffache ist.