Wie viele Eckpunkte hat ein Kreis?

Eine interessante Frage! Rein mathematisch gesehen hat ein Kreis keine Ecken. Philosophisch haben beide Antworten aber durchaus ihre Argumente!

Und ja, hier streiten tatsächlich Mathematiker, Physiker und Philosophen drüber. Das ist auch gar nicht so absurd, denn je mehr Ecken ein Vieleck hat, desto mehr nähert sich das Verhältnis Umfang/Durchmesser der Zahl PI an. Bei unendlich vielen Ecken nähert man sich der Zahl PI also unendlich nahe an und wäre demnach von einem Kreis nicht mehr zu unterscheiden.

Für eine absolute Übereinstimmung müsste dadurch die Strecke zwischen den 2 Punkten einer Ecke allerdings auch unendlich klein werden! Damit sie aber mathematisch gesehen zu einem Kreis absolut identisch ist, müsste die Strecke 0 sein. Das ist aber mathematisch als auch logisch nicht erlaubt.

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Man muss berücksichtigen, dass die Mathematik nicht unbedingt im Realismus zu Hause ist. Für sie ist ein absoluter Kreis durchaus denkbar - in der Realität gibt es aber so etwas wie den perfekten Kreis meines Wissens nach nicht.

Auf „unendlich viele Ecken“ kommt man nur über das Scheinargument

• aₙ→a ⇒ f(aₙ)→f(a)

Das gilt aber nur, wenn f stetig ist. Die Eckenzahl einer Kurve a ist aber nicht stetig. Du findest in jeder noch so kleinen Umgebung einer Kurve a andere Kurven mit beliebig vielen Ecken.

Mit dem Scheinargument kann ich auch „beweisen“, dass ein Quadrat keine Ecken hat. Ich muss es nur durch abgerundete Figuren annähern, z. B. x²ⁿ+y²ⁿ=1:

Und glaubt jemand wirklich, dass die Zahl 1 unendlich viele Nachkommastellen besitzt, weil die Reihe 1/2+1/4+1/8+··· immer mehr Nachkommastellen produziert und gegen 1 geht?

Tatsächlich muss man sogar die aus der Schule bekannten Beweise für den Umfang und die Fläche eines Kreises hinterfragen, denn schon beim Umfang gibt es ja zwischen dem Innen-n-Eck und dem Außen-n-Eck Kurven mit beliebig großer Länge (in engem Zickzack zwischen den beiden Rändern). Ich kann den Einheitskreis mühelos durch Kurven mit konstanter Länge 42 von innen und außen annähern. Heißt das nun, dass der Kreis den Umfang 42 hat?

In der Schule werden diese Details weggelassen, weil es ja „anschaulich klar“ ist. Aber dass die Verfahren zur Umfangs- und Flächenberechnung wirklich funktionieren, erfordert schon etwas höhere Mathematik, hier speziell Maßtheorie. Aber die Berechnung der Eckenzahl klapp so leider nicht :-(

Man kann ihn zwar durch unendlich viele Geraden/Eckpunkte interpolieren, deshalb besteht er aber nicht aus solchen. Ansonsten müsste man es Vieleck nennen und wäre kein Kreis mehr.

Per Definition von Ecken keine.

Man könnte es auch als Grenzfigur eines regulären n-Ecks mit n gegen Unendlich auffassen, aber das ist nicht gleichzusetzen mit unendlich vielen Ecken.

Ein Kreis ist die Menge aller Punkte die den gleichen Abstand, den Radius, vom Mittelpunkt haben. Nicht irgendwie ein unendlich-Eck oder so.