Wie verhält sich diese Funktion, wenn sie gegen 0 geht?

cosh^(-1)(x^(-1))

mit ausführlicher Begründung ohne Umschreiben in Reihe

Comments

[gfntom]

Wenn die Funktion gegen Null geht, geht sie gegen Null.

Du meinst vermutlich "wenn x gegen Null geht"

Ja, wenn x gegen 0 geht

Answer 1

[Pseud000]

https://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_hyperbolicus_und_Kosinus_hyperbolicus#Umkehrfunktionen

Der cosh^(-1) ist der areacosinus hyperbolicus und ist einfach durch den ln definiert (wie du im Wikipediaeintrag lesen kannst).

1/x geht gegen unendlich, wenn x gegen 0 geht und da der ln streng monoton steigt letztlich auch die Gesamtfunktion.

https://www.wolframalpha.com/input?i=limit+cosh%5E%28-1%29%281%2Fx%29+as+x-%3E0

https://www.wolframalpha.com/input?i=arccosh%281%2Fx%29

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Lehramtstudium Mathematik / Physik und Tutor

Comments

[Pseud000]

Ist das dasselbe wie 1/(cosh(1/x))?

@Inkognito-Beitragsersteller

Nein ist es nicht

[Pseud000]

@Inkognito-Beitragsersteller

Deine Notation sah nach der Umkehrfunktion aus, 1/f(x) ist natürlich allgemein nicht dasselbe. Für 1/cosh(1/x) wäre dann der Grenzwert Null, da du eben durch einsetzen der Exponentialdarstellung 2/(exp(1/x)+exp(-1/x)) erhältst. Wenn x gegen Null geht, geht 1/x gegen unendlich und damit exp(1/x) wegen der Stetigkeit aauch und exp(-1/x) gegen nullt. Wegen Stetigkeit geht der Nenner gegen unendlich, der Bruch also gegen 0.

https://de.wikipedia.org/wiki/Sekans_hyperbolicus_und_Kosekans_hyperbolicus

1/cosh ist der Sekans hyperbolicus

[Pseud000]

@Inkognito-Beitragsersteller

Wie gerade geschrieben, du hast dann eine schlechte Notation gewählt.

f(x)^(-1) wird gemeinhin für die Umkehrfunktion verwendet, nicht für 1/f(x) bzw. ist da Verwechslungsgefahr dabei. Im ersten Beitrag habe ich ersteres adressiert und in dem Kommentar unten jetzt zweiteren Fall.