wie rekonstruiert man eine Matrix?
Es sind nur zwei Vektoren gegeben (0,4) und (4,0) und halt noch der Usprung (0,0). Da in Aufgabenteil b) etwas von (-2,5) gesagt wird, gehe ich davon aus, dass auch dieser Vektor in der Matrix ist.Aber das reicht noch nicht um die Matrix zu rekonstruieren, da A unbekannt ist und die genaue Anz. der Spalten ist auch nicht bekannt, or? (2 Zeilen, wegen R²)
2 Antworten
Die Matrix hat 2 Spalten, da sie nach rechts mit Vektoren eines 2-dimensionalen Vektorraums multipliziert wird.
Sie hat 2 Zeilen, da dieses Produkt ein Element eines 2-dimensionalen Vektorraums ist.
Der Vektor (-2 | 5) ist nur ein Beispielvektor, um zu zeigen, dass man die Multiplikation von Matrix und Vektor verstanden hat. In der Aufgabe könnte ein beliebiger anderer Vektor stehen.
-----
Es sind zwei Vektor-/Bildvektor-Paare gegeben. Die Bildvektoren musst du vermutlich grafisch ablesen.
Gib den 4 Einträgen in der Matrix Namen - üblicherweise nimmt man a_11, a_12, a_21, a_22 -, multipliziere diese Matrix mit den Ausgangsvektoren, setze diese gleich den Bildvektoren und löse das entstehende lineare Gleichungssystem nach den Matrixelementen auf.
Du kannst ja einfach deine beiden Vektoren als Basis nehmen und dann sind einfach die zwei Punkte (3 | 2) und (-2 | 3), die du ablesen kannst, die Abbildungsmatrix A.
(-2 | 5) in der b) musst dann halt als Linearkombination der beiden Vektoren (4 | 0) und (0 | 4) darstellen, um sie mit A abbilden zu können.
Die Dimension deiner Abbildungsmatrix ist übrigens einfach zu ermitteln: so viele Zeilen wie die Dimension des Bildraums und so viele Spalten wie die Dimension des Urbildraums. Also in deinem Fall 2x2.
Wie meinst du das mit der b?
Eine Linearkombination von (0,4) und (4,0) wäre ja
-1,25 * (0, 4) + 0,5 (4,0) = (2,5)
Soll man jetzt einfach (2,5) einzeichnen?
und bei der c) Beschreibung. Naja, die Abbildung spannt einen Vektor auf, oder?
Bei der c) weiß ich auch nicht genau, was verlangt ist.
Wenn du deine Abbildungsmatrix bei der a)
3 -2
2 3
aufschreibst, dann ist das ja bzgl. der Basis (4;0) und (0;4). Das heißt du musst alle Vektoren, die du abbilden willst, als Linearkombination dieser Basis schreiben und diesen Koordinatenvektor dann abbilden.
Also A* (0,5; 1,25) wäre in diesem Fall dein Bildvektor für die b).
ok, also die Matrix A * (4,0) und A * (0,4) , ergibt
4 a_11 + 4 a_21
und
4 a_12 und 4_a22.
Wie setze ich das den Bildvektoren gleich. Es gibt ja zwei Bildvektoren (3,2) und (-2/3). Soll ich dann
4 a_11 + 4 a_21 = 3
4 a_11 + 4 a_21 = 2
4 a_12 + 4 a_22 = -2
und
4 a_12 + 4a_22 = 3
auflösen?