Wie macht man 10?
3 Antworten
Hallo,
die Seiten des eingeschriebenen Rechtecks haben nach dem Satz des Pythagoras die Längen Wurzel (x²+(10-x)²) und Wurzel (x²+(5-x)²).
Das Produkt dieser beiden Wurzeln muß minimal sein.
Da das Produkt der Wurzeln dann minimal ist, wenn es auch das Produkt der Quadrate dieser Wurzeln ist, kannst Du die Wurzeln weglassen, kommst auf das Quadrat der Fläche des gesuchten Rechtecks, also auf [x²+(10-x)²]*[x²+(5-x)²].
Du leitest das ab, entweder nach Ketten- und Produktregel oder einfacher nach vorherigem Ausmultiplizieren und Zusammenfassen, und setzt die Ableitung gleich Null.
Das Ergebnis ist eine Gleichung dritten Grades, die sich nicht durch Raten und Polynomdivision lösen läßt. Du nimmst also entweder den Taschenrechner und läßt den rödeln oder Du machst Dich mit der cardanischen Formel vertraut.
Es gibt eine reelle und zwei komplexe Lösungen. Letztere sind für diese Fragestellung uninteressant. Es reicht also, mit Cardano die reelle Lösung zu berechnen.
Ich sehe gerade: das innere Viereck ist gar kein Rechteck. Dann maximierst Du einfach die Fläche der Dreiecke. Das Halbieren der Flächen kannst Du Dir sparen, da die Dreiecke jemals doppelt vorkommen.
Also einfach x*(x-5)+x*(x-10) ableiten und gleich Null setzen.
Herzliche Grüße,
Willy
a)
Das innere Viereck ist ein Parallelogramm.
b)
Die dunklen Dreiecke oben/unten haben jeweils die Fläche (10-x)*x/2
Die dunklen Dreiecke rechts/links haben jeweils die Fläche (5-x)*x/2
Die Fläche aller Dreiecke beträgt in Summe (10-x)*x + (5-x)*x
Die Fläche des hellen Parallelogramms beträgt deshalb:
A(x) = 10*5 - (10-x)*x - (5-x)*x = 2x² - 15x + 50
####
Lösung 1 für min A(x) über die Ableitungen von A(x):
A'(x) = 4x - 15
A''(x) = 4
Ein Minimum von A(x) liegt deshalb bei x = 15/4.
####
Lösung 2 für min A(x) über die Scheitelform der Parabel:
Den Faktor 2 bei x² erst mal ausklammern und ignorieren:
x² - 15/2x + 25
Die Hälfte von 15/2 als Quadrat addieren und subtrahieren:
x² - 15/2x + (15/4)² - (15/4)² + 25
Binomische Formel für x² - 15/2x + (15/4)² anwenden:
(x - 15/4)² - (15/4)² + 25
Man erkennt bereits jetzt den Scheitel an der Stelle x = 15/4. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, befindet sich dort ein Minimum.
Fläche des gelben Rechtecks = Fläche des großen Rechtecks minus 4 Dreiecksflächen
A(x) = 10*5 - 2*1/2*x*(10-x) -2*1/2*x*(5-x)
diese Fläche soll minimal sein
also den Scheitelpunkt der Funktion bestimmen
wer bereits Ableitungen kennt, kann auch den Extremwert mittels nullsetzen der Ableitung berechnen
aber die Dreiecke sind ja nicht alle gleich sondern immer nur 2
richtig
die eine Seite der Dreiecke ist immer x
die andere bei zwei Dreiecken 10-x und bei den anderen beiden 5-x
Ich habe das gemacht jetzt aber bei mir kommt 78,125 raus und das kann ja nicht richtig sein. Also für x dann 3,75
x=3,75 hab ich auch aber 78 kann nicht stimmen, die Fläche muss kleiner als die des äußeren Rechtecks sein also kleiner als 50
Ah. Ich habe halt 50- die ganzen Dreiecke gemacht. Dann hatte ich halt 50cm^2-15x-2x^2. und das habe ich umgestellt zur Scheitelpunktsform aber am Ende stand dahinter halt noch +50 und das habe ich dazugerechnet
Bei mir kommt jetzt aber 35,9375 raus. Also ich hatte 2x^2+15x jetzt
2x²-15x+50 = 2(x²-7.5x+25)=2((x-3.75)²-3.75²+25) = 2((x-3.75)²+10.9375)
= 2(x-3.75)²+21.875
die Lösung ist richtig, aber er kennt noch keine Ableitungen, deshalb muss er diese Aufgabe mit der Scheitelform der Parabel berechnen