Wie löst man diese Aufgabe (Auftrieb/Druck)?

Ich habe mir die Aufgabe mehrmals durchgelesen und verstehe immer noch nicht ganz, wo ich überhaupt anfangen soll.

Answer 1

[indiachinacook]

Wenn der Quader auf der Flüssigkeitsoberfläche schwimmt, dann verdrängt er immer genausoviel Wasser wie er selbst wiegt. Wir nehmen an, daß der Quader eine Grund­fläche A hat (die wird hoffentlich im Lauf der Rechnung irgendwie wegfallen) und außer­dem wissen wir natürlich Dichte von Wasser, ρ₁=1 g/ml; das Benzin bezeichne ich mit dem Index 2, also ρ₂=0.7 g/ml. Die gesuchte Dichte des Quaders nenne ich ein­fach ρ = Masse des Quaders / Volumen des Quaders, und vom Quader wissen wir außerdem noch eine Abmessung, c=4 cm

• Wenn der Quader auf dem Wasser schwimmt, dann sinkt er um h₁ ein. Das ver­dräng­te Wasser ist also V₁=h₁A, es wiegt m=V₁ρ₁=h₁ρ₁A und das muß dieselbe Masse sein wie die des Quaders, h₁ε₁A=Vρ=Acρ. Es gilt also h₁ρ₁=cρ, aber damit können wir noch nichts anfangen, weil wir weder h₁ noch ρ kennen.
• Jetzt lassen wir den Quader am Benzin schwimmen, und er sinkt um h₂=h₁+δ ein (δ=8 mm). Es gilt mit derselben Argumentation wie oben also h₂ρ₂=cρ=(h₁+δ)ρ₂
• Aus h₁ρ₁=cρ können wir h₁=cρ/ρ₁ machen, und das setzen wir in die zweite Glei­chung ein: cρ=(cρ/ρ₁+δ)ρ₂.
• In dieser Gleichung kennen wir alles bis auf ρ, also lösen wir nach ρ auf und setzen ein:

Zur Sicherheit rechnen wir es nochmals zurück:

• Im Wasser sinkt der Quader h₁=cρ/ρ₁=1.87 cm tief ein
• Im Benzin sinkt der Quader h₂=cρ/ρ₂=2.67 cm tief ein
• Im Benzin sind es also wie gefordert 0.8 cm tiefer, das scheint zu stimmen.

Answer 2

[Hamburger02]

Da sich am Ende das wirkliche Volumen sowieso wieder rauskürzt, kannst du einfach eine Fläche, z.B. von 10 cm^2, annehmen und damit rechnen.

Dann taucht der Block um 8 cm^3 weniger ein und das entspricht der Differenz der verdrängten Flüssigkeit, also 0,3 g/cm^3 * 8 cm^3

Damit hast du die Masse die 8 cm^3 des Holzes haben und kannst damit die Dichte ausrechnen.

Answer 3

[mihisu]

Ich würde zunächst einmal die Formeln für die Gewichtskraft und für die Auftriebskraft in den beiden Fällen aufstellen, und dann jeweils Gewichtskraft mit Auftriebskraft gleichsetzen (da Kräftegleichgewicht im Schwimm-Fall).

Und daraus sollte sich dann zusammen mit der Information „in Benzin 8 mm tiefer als in Wasser“ ein Gleichungssystem aufstellen lassen, welches man so weit lösen kann, bis man die gesuchte Dichte des Holzes gefunden hat.

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Wenn l die Länge, b die Breite und h[Benzin] die Eintauchtiefe des Quaders in Benzin ist, so erhält man für das verdrängte Benzinvolumen...

$V_\text{Benzin}=l\cdot b\cdot h_\text{Benzin}$

Für die entsprechende Auftriebskraft erhält man dann...

$F_{\text{A},\text{Benzin}}=\rho_\text{Benzin}\cdot \overbrace{l\cdot b\cdot h_\text{Benzin}}^{V_\text{Benzin}}\cdot g$

Analog erhält man für die entsprechende Auftriebskraft in Wasser...

$F_{\text{A},\text{Wasser}}=\rho_\text{Wasser}\cdot \overbrace{l\cdot b\cdot h_\text{Wasser}}^{V_\text{Benzin}}\cdot g$

Mit der Quaderhöhe h (h = 4 cm)erhält man andererseits für die Gewichtskraft des Quaders...

$F_{\text{G}}=\rho_\text{Holz}\cdot \overbrace{l\cdot b\cdot h}^{V_\text{Quader}}\cdot g$

Da der Quader jeweils schwimmen soll, heben sich Auftriebskraft und Gewichtskraft gegenseitig auf. D.h. Auftriebskraft und Gewichtskraft sind gleich groß. Also...

$F_{\text{A},\text{Benzin}}=F_\text{G}=F_{\text{A},\text{Wasser}}$

$\rho_\text{Benzin}\cdot l\cdot b\cdot h_\text{Benzin}\cdot g=\rho_\text{Holz}\cdot l\cdot b\cdot h\cdot g=\rho_\text{Wasser}\cdot l\cdot b\cdot h_\text{Wasser}\cdot g$

Die Faktoren l, b und g sind jeweils gleich. Die kann man aus der Gleichung rauskürzen.

$\rho_\text{Benzin}\cdot h_\text{Benzin}=\rho_\text{Holz}\cdot h=\rho_\text{Wasser}\cdot h_\text{Wasser}$

Außerdem weiß man, dass die Einsinktiefe in Benzin 8 mm mehr ist als in Wasser.

$h_\text{Benzin}=h_\text{Wasser}+8\text{mm}$

Also...

$\rho_\text{Benzin}\cdot \left(h_\text{Wasser}+8\,\text{mm}\right)=\rho_\text{Holz}\cdot h=\rho_\text{Wasser}\cdot h_\text{Wasser}$

Nun kann man beispielsweise mit der Gleichung...

$\rho_\text{Benzin}\cdot \left(h_\text{Wasser}+8\,\text{mm}\right)=\rho_\text{Wasser}\cdot h_\text{Wasser}$

... die Eintauchtiefe h[Wasser] berechnen und dann eine der Gleichungen...

$\rho_\text{Benzin}\cdot \left(h_\text{Wasser}+8\,\text{mm}\right)=\rho_\text{Holz}\cdot h\quad\text{oder}\quad\rho_\text{Holz}\cdot h=\rho_\text{Wasser}\cdot h_\text{Wasser}$

... nutzen, um die gesuchte Dichte ρ[Holz] zu berechnen.

============

$\rho_\text{Benzin}\cdot \left(h_\text{Wasser}+8\,\text{mm}\right)=\rho_\text{Wasser}\cdot h_\text{Wasser}$

$\rightarrow\quad \rho_\text{Benzin}\cdot h_\text{Wasser}+\rho_\text{Benzin}\cdot 8\,\text{mm}=\rho_\text{Wasser}\cdot h_\text{Wasser}$

$\rightarrow\quad \rho_\text{Benzin}\cdot 8\,\text{mm}=\left(\rho_\text{Wasser}-\rho_\text{Benzin}\right)\cdot h_\text{Wasser}$

$\rightarrow\quad h_\text{Wasser} = \frac{\rho_\text{Benzin}}{\rho_\text{Wasser}-\rho_\text{Benzin}}\cdot 8\,\text{mm}$

$\rho_\text{Holz}\cdot h=\rho_\text{Wasser}\cdot \overbrace{\frac{\rho_\text{Benzin}}{\rho_\text{Wasser}-\rho_\text{Benzin}}\cdot 8\,\text{mm}}^{h_\text{Wasser}}$

$\rightarrow\quad \rho_\text{Holz}=\rho_\text{Wasser}\cdot \frac{\rho_\text{Benzin}}{\rho_\text{Wasser}-\rho_\text{Benzin}}\cdot \frac{8\,\text{mm}}{h}$

$\rightarrow\quad \rho_\text{Holz}=1\text{,}00\,\frac{\text{kg}}{\text{dm}^3}\cdot \frac{0\text{,}70\,\frac{\text{kg}}{\text{dm}^3}}{1\text{,}00\,\frac{\text{kg}}{\text{dm}^3}-0\text{,}70\,\frac{\text{kg}}{\text{dm}^3}}\cdot \frac{8\,\text{mm}}{4\text{,}0\,\text{cm}}$

$\rightarrow\quad \rho_\text{Holz}=1\text{,}00\,\frac{\text{kg}}{\text{dm}^3}\cdot \frac{0\text{,}70\,\frac{\text{kg}}{\text{dm}^3}}{1\text{,}00\,\frac{\text{kg}}{\text{dm}^3}-0\text{,}70\,\frac{\text{kg}}{\text{dm}^3}}\cdot \frac{8\,\text{mm}}{40\,\text{mm}}\approx 0\text{,}47\,\frac{\text{kg}}{\text{dm}^3}$

Comments

[indiachinacook]

Schön, daß Du dasselbe rausgekriegt hast ☺☺☺