Wie löst man diese Analysis Aufgabe?

Ich bräuchte Hilfe dabei diese Aufgabe zu lösen. An sich weiß ich dass es eine Steckbrief Aufgabe ist und schonmal die Informationen f(0)=4, f(2)=1 und f(4)=0 rausgelesen werden können... Aber ansonsten hab ich keine Ahnung wie ich weiter vorgehen soll.

Answer 1

[minervaluna]

In dem Ausdruck ''ohne einen Knick [...] münden'' ist ein essentieller Hinweis versteckt. Es ist gemeint, dass die Funktionen, die die gerade Straße und die Umgehungsstraße beschreiben in den Punkten A und B tangential zueinander sind. Das bedeutet, sie haben in den Punkten A und B dieselbe Steigung. Mithilfe der Ableitung kannst du die Steigung einer Funktion für einen bestimmten x-Wert berechnen.

f(0) = 4, f(2) = 1 und f(4) = 0 hast du schonmal gut erkannt. Mit den Informationen die wir bis jetzt haben, stellen wir ein Gleichungssystem auf. Gesucht ist eine ganzrationale Funktion vom Grad 4, also

$f\left(x\right)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$ $f'\left(x\right)=4ax^3+3bx^2+2cx+d$

Wir können folgende Aussagen zu f(x) treffen:

$f\left(0\right)=e=4$ $e=4$ $f\left(2\right)=16a+8b+4c+2d+4=1$

$16a+8b+4c+2d+3=0$

$f\left(4\right)=256a+64b+16c+4d+4=0$ $64a+16b+4c+d+1=0$

Die Gerade, die den Verlauf der geraden Straße beschreibt, hat die Steigung -1.

Also gilt für f'(x) im Punkt A:

$f'\left(0\right)=-1$ $d=-1$

Und im Punkt B:

$f'\left(4\right)=-1$ $32a+6b+c=0$

d und e kennen wir jetzt. Mit den übrigen Gleichungen errechnen wir a, b und c:

$16a+8b+4c+1=0$ $16a+4b+c=0$ $32a+6b+c=0$

Gleichsetzungsverfahren mit Gleichung 1 und 2:

$16a+8b+4c+1=16a+4b+c$ $4b+3c+1=0$ $4b+3c=-1$

Gleichung 3 - 2 * Gleichung 2:

$-2b-c=0$ $c=-2b$

Dann gilt:
$4b+3\cdot\left(-2b\right)=-1$ $4b-6b=-1$ $-2b=-1$ $b=\frac{1}{2}$ $c=-2b=-1$

$16a+4b+c=0$ $16a+2-1=0$ $16a+1=0$ $a=-\frac{1}{16}$

Die gesuchte Funktion für die Umgehungsstraße ist also:

$f\left(x\right)=-\frac{1}{16}x^4+\frac{1}{2}x^3-x^2-x+4$

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung

Comments

[lochnase400]

Okay das ist echt ziemlich viel...

Ich verstehe aber nicht ganz wieso aus

f\left(4\right)=256a+64b+16c+4d+4=0f(4)=256a+64b+16c+4d+4=0

64a+16b+4c+d+1=064a+16b+4c+d+1=0

wurde... Wie wurde da vorgegangen?

[lochnase400]

@lochnase400

Oh ich verstehe, die gesamte Gleichung wurde durch 4 geteilt

[minervaluna]

@lochnase400

Ja, genau. Ich hoffe, mein Rechenweg ist verständlich, diese Aufgabe ist tatächlich etwas aufwändig.

Answer 2

[eddiefox]

Hallo,

du kannst noch zwei Bedingungen aufstellen.

Die Gerade, die durch die Punkte A und B geht, drücken wir durch
die Funktion d(x) = ax + b aus.

Die Koeffizienten a und b kannst du aus den Koordinaten von A und B berechnen.

Da Graph(f) keinen Knick haben darf, muss die Ableitung von f in den Punkten A und B mit der von d übereinstimmen. D.h. es muss gelten

f'(0) = d'(0) und f'(4) = d'(4)

Gruß